基底 一次独立 についての質問

質問

R^3の空間において、v1,v2∈R
v1=（1,0,0），v2=(0,1,0)は一次独立だがR^3の基底では無い。
なぜ、このベクトルv1，v2は一次独立となるのでしょうか？

基底とならないことは理解できます。

正方行列でなければ、行列式が作れないはずなのに・・・

2つのベクトルを行列の形に並べると（行列のカッコは表記上つけられませんでした・・）
10
01
00
となり、階段行列よりrank=2なので
10
01
の行列について考えれば良いという事でしょうか？これなら、一次独立であることは理解できます。

また、R^2の空間においては、
10
01
00
は、基底となりうるのでしょうか？
R^2の場合、3行まであるような表記はしない？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

＞定義を確認しました。

そう．その内容で正解です．

＞行列式≠0が一次独立と思って下りました・・・

これは間違いではないのです．
R^nにおいて，n個のベクトルv1,..,vnが一次独立であるための
必要十分条件はそのベクトルを並べて作られる行列
(v1 v2 ... vn)の行列式が0ではない
ということと同値だから．
ただし，大事なのは
n次元の空間で，n個のベクトルというように
次元とベクトルの個数がそろっているということ．
そして，n次元の空間でn個のベクトルが一次独立ならば
それらは基底になるのです．
これは「任意のベクトルを生成する」という条件が
「n次元でn個のベクトル」という「個数がそろっている」ということに
置き換わっていると解釈できるのです．

お礼

ご回答ありがとうございました。
理解できました。

もっと、定義をしっかり理解する事に心がけます。

回答No.2

kabaokaba

・・・「定義を大事する」「定義を理解する」と
何度でもいいましょう．

基底の定義，一次独立の定義を理解してますか？
一次独立であっても，基底になれないなんてことは
当たり前にあるのです．
一次独立で，かつ，任意のベクトルを生成できるものを
基底というのです．
だから，基底というのは一次独立であるということよりも
条件がたくさんあるのです．

＞正方行列でなければ、行列式が作れないはずなのに・・・
これ以降の質問文の内容は
まったく意味がありません．
＃R^2なのに成分が三つあるなんて・・・

アフィン空間のときもそうでしたが，
自分独自の世界を構築して
そこで混乱するというのはもう卒業しましょう．
・定義を理解する
・自分で計算する
・きちんと紙に書いて考える
・勝手な解釈はしない
まずはそれからです．

お礼

ご回答ありがとうございます。
定義を確認しました。

ベクトルv1，・・・，vn∈Vに対して、v=a1v1+・・・anvn∈V，a1，・・・an∈Rを
v1，・・・，vnの一次結合と言って、
このときa1v1+・・・+anvn=0をv1，・・・，vnの一次関係という。
一次関係を満たす係数が、a1=0，・・・an=のみであるときv1，・・・，vnは一次独立。
（VはR（体）上のベクトル空間）

ここで、質問内容に立ち返るとv1=(1,0,0)，v2=（0,1,0）なので、
a1（1,0,0）+a2（0,1,0）=（0,0,0）
（a1,0,0）+（0,a2,0）=（0,0,0）なので、a1=0，a2=0より一次独立。

定義を疎かにして、行列式≠0が一次独立と思って下りました・・・
申し訳ありませんでしたm(__)m

回答No.1

nag0720

一次独立の定義は、
v1，v2は一次独立　⇔　av1+bv2=0 なら　a=b=0
ですよ。

＞R^2の場合、3行まであるような表記はしない？
R^2とはR×Rのことです。その要素は(a,b)と表現します。

お礼

ご回答ありがとうございます。

一次独立の定義を再確認し、理解できました。

＞R^2の場合、3行まであるような表記はしない？
R^2とはR×Rのことです。その要素は(a,b)と表現します。
理解しました。

ありがとう御座いました。