- ベストアンサー
（線形代数）基底の延長
A=(2 -1 -1 1,-1 2 -1 2, -1 -1 2 -3)の行列がある。それに対してＲ＾４からＲ＾３について、 a)像の基底と、それを延長したＲ＾３の基底を求めよ。 b)核の基底と、それを延長したＲ＾３の基底を求めよ。 求めたところ、像の基底は(2 -1 -1)(-1 2 -1) (3 1 1 0)核の基底は(-2/3 -1/3 0 1)と分かったが、基底の延長の仕方を教えてくださいませんか？
- kawaisoonano
- お礼率50% (3/6)
- 数学・算数
- 回答数6
- ありがとう数3
- みんなの回答 （6）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
n 次元ベクトル空間中の、r 次元部分空間の 基底が与えられているとき、それを n 次元空間の基底へ延長するには… 一番簡単な方法は、何でもいいから n 次元ベクトルを n-r 個もってきてみること。 それを r 次元空間の基底と並べて 成分表示すれば、n 次正方行列ができる。 その行列の det が 0 でなければ、まんまと成功。 n-r 本をランダムに選べば、そうなる確率が高い。 運悪く det が 0 であったら、 n-r 本を選ぶところからやり直し。 何回かやれば、そのうち上手くいく。
その他の回答 (5)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
質問文中の答えのオカシイところ： ・像は３次元空間の部分空間なのに、 基底として４次元ベクトルを挙げている。 ・しかも、rank A = 2 なのに、 基底ベクトルを３本にしている。 ・核の基底も、ベクトルの数が正しくない。 核は 4 - rank A 次元。 像の基底を挙げるには、A の列ベクトルの中から 一次独立な rank A 本の組を選ぶ。 核の基底を挙げるには、Ax=0 を解く。 この連立一次方程式は不定方程式であり、 一般解は 4 - rank A 個の自由変数を含む。 その自由変数の係数を列ベクトルとして 取り出したものが、核の基底。 まずは、ここまでを再考のこと。
それもあるけど、「求めたところ、・・」以下がおかしいでしょ。
1番ですけど、つまり質問文の後半はおかしいといってるわけですが。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「基底の延長」とは, どのような操作のことですか?
お礼
次元の拡張かな？定義としては、ｖ次元の行列からn次元の行列への延長はa1+a2+.......+an. （aは行列の各成分成分）。行列の延長定理の証明は結構本に載っていますが、数値を使った例は見つけていません～ＴＴ
Aのランクが2のようですが。
お礼
ランク２ですね。できれば、基底の延長の仕方を教えてください
お礼
a)像の基底と、それを延長したＲ＾３の基底を求めよ。 b)核の基底と、それを延長したＲ＾4の基底を求めよ。