集合と位相の問題です。

質問

写像ｄ：Ｏ（n） → ｛－１，１｝、ｄ（Ａ）＝|Ａ|を考える。

行列式は、行列Ａのｎ＾２個の成分によるｎ次の多項式だからｄは連続関数である。

このｄを用いて、Ｏ（n）とＳＯ（n)の連結性を考察してください。

ただし、
Ｏ（n) = ｛A∈M(n,R)；A^t = A^(-1)｝
SO(n) = ｛A∈O(n)；|A| = 1｝
というような部分空間である。

よろしくお願いしますｍ（＿＿）ｍ

回答No.2

alice_38

しまった。寝ぼけていた。
d が連続であることを示せば、
あとは一般論でいけますね。

d が連続であれば、逆写像 d~(-1) は、
点写像としては存在するとは限らなくても、
集合写像としては常に存在して、
(1) 開集合を開集合へ移す。
(2) 集合の包含関係を変えない。
…ことが示せます。
これにより、
Im d 上の近傍鎖と Dom d 上の近傍鎖は
一対一に対応して、d~(-1) は連結性を変化させません。

｛ -1,1 ｝は、離散位相で二つの連結成分を持つ
ので、O(n) も、それに従うのでした。

お礼

丁寧な回答ありがとうございます！

とても助かりましたｍ（＿＿）ｍ

回答No.1

alice_38

まず、O(n) に位相を定義しないと
話が始まらない。
通常は、Mat(n,R) をベクトル空間 R~(n~2) と
見た場合のユークリッド位相を入れ、
O(n) には、その相対位相を入れる。
これにより、d は連続となる。
連続写像の定義に照らして
確認のこと。

連結集合の連続写像による像は、連結だから、
O(n) が、非連結で、少なくとも
d=1 の成分と d=-1 の成分に別れる
ことが判る。
行列式の値を計算してみれば、
d=1 の部分が、SO(n) に対応している。

d=1 部分と d=-1 部分が同相であることは
ほぼ自明だから、
あとは、SO(n) が連結であることを
示せば完了する。
それには、O(n) に導入した具体的な位相
に基づいた計算が必要。

お礼

回答ありがとうございます！