【確率論】２変量正規分布と、ベータ関数について

質問

先日出た６問ある課題のうち、残り２問がどうしてもわかりません。
参考書もノートも読み返しました。ぐぐってもみましたがよく分かりません。

下記の問題について分かる方、
答えまでとは言いませんので、方針や参考になるページなどあれば教えて下さい。

(もちろん解法も大歓迎です(^ω^)ノ)

提出期限は明日で間に合わないので、復習用の参考にしたいと思います。
よろしくお願いします。

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1：
(X,Y)が２変量正規分布に従っているとする。確率密度の指数部分が
-(x^2-2xy+2y^2+6x-8y+10)のとき、E(X)とcov(X,Y)を求めなさい。

↑
一変数の普通の正規分布でしたら、平均が分かるんですが・・・

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2：
∫(0～∞) x＾3/(1+x)^6 dx　をベータ関数を使って表し、その値を求めなさい。

↑
ベータ関数って、分母が(1-x) ですよね？！
まったく何をしたらいいのかわかりません・・・

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気長に回答をお待ちしてます。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

1：
２変量正規分布に従う確率変数ベクトルZの平均ベクトルをμ、分散共分散行列をΣとすると、確率密度関数の指数部分は、
-(Z-μ)'Σ^(-1)(Z-μ)/2　　（ただし、'は転置行列、^(-1)は逆行列）
となります。
この問題の場合ならば、
Z = (X Y)'
μ = (-2 1)'
Σ = (1　 1/2)
　　 (1/2 1/2)
であるので、これから容易に
E(X) = -2
cov(X, Y) = 1/2
であることが分かります。
地道に積分していっても難しくはないでしょう。

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2：
とりあえずy=1/(1+x)とでもおいて置換積分をしてみてください。

お礼

早速の回答ありがとうございます。

２については…
私も電車の中で考えていて気付けました！
変数変換したら、綺麗に式に一致しますね！

１は…
パッと見では理解できないので、
じっくり考えてみます。

ありがとうございます！