指数分布の積の分布

質問

独立な２つの指数分布があるとき、その積の分布はどのような分布になりますか？
例えばf(x)＝a*exp(-ax) (x>=0)
g(y)=b*exp(-by) (y>=0)
に従う乱数f,gがあったときf*gの分布がどのような関数であらわされるか知りたいのですが。もしできれば導き方も教えてください。

回答No.1

incd

f*gの分布　というおいうのは、「x*yの分布」という方が正確だと思います。
自分の計算力の未熟さゆえに解けなかったのですが、通常は以下のような導出をすると思います。

H(z)をXYの累積密度関数とすると
H(z) = Pr(XY≧z) = Pr(Y≧z/X) となり、これは
{ ∫[0, +∞) b*exp(-by)dy } * {∫[z/x, +∞) a*exp(-ax)dx }
で求めることができます。
ただ、ちょっとやってみたところ解けませんでした。数値的に求めることは可能だと思います。

お礼

早速の回答ありがとうございました。