分布関数の問題

質問

以下の問題の答えがわかりません。詳しい解説をお願いします。

X1、X2を互いに独立に同一の指数分布に従う確率変数とし、その分布関数をF(x)=1-e^(λx)とする。

１． Z = 2・X1 の分布を求めよ
２． U = X1 + X2 の分布を求めよ
３． V = X1 - X2 の分布を求めよ
４． W = | X1 - X2 | の分布を求めよ

よろしくお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

３番はマイナスの値もあり得るので#1さんの回答では拙いですね。

V ≧ 0 のときとV < 0 のときとで場合分けして計算すれば良いかと思います。

回答No.1

muturajcp

λ>0
X_1,X_2の分布関数をF(x)=1-e^{-λx}とする
1.
z=2x
x=z/2
分布関数をFとすると
F(z)=Pr(0<2X_1<z)=Pr(0<X_1<z/2)
F(z)=1-e^{-λz/2}

2.
分布関数をFとすると
F(u)=Pr(0<X_1+X_2<u)
=∫_{0～u}∫_{0～u-y}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～u}λe^{-λy}∫_{0～u-y}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～u}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{0～u-y}dy
=∫_{0～u}λe^{-λy}[1-e^{-λ(u-y)}]dy
=∫_{0～u}λe^{-λy}dy-λe^{-λu}∫_{0～u}dy
=[-e^{-λy}]_{0～u}-λue^{-λu}
=1-e^{-λu}-λue^{-λu}
F(u)=1-e^{-λu}-λue^{-λu}

3.
分布関数をFとすると
F(v)=Pr(0<X_1-X_2<v)
=∫_{0～∞}∫_{0～y+v}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}∫_{0～y+v}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{0～y+v}dy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[1-e^{-λ(y+v)}]dy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}dy-e^{-λv}∫_{0～∞}λe^{-2λy}dy
=[-e^{-λy}]_{0～∞}-(e^{-λv}/2)[-e^{-2λy}]_{0～∞}
=1-(e^{-λv}/2)

4.
分布関数をFとすると
F(w)=Pr(|X_1-X_2|<w)=Pr(X_1-w<X_2<X_1+w)
=∫_{0～∞}∫_{max(0,y-w)～y+w}(λ^2)e^{-λ(x+y)}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}∫_{max(0,y-w)～y+w}λe^{-λx}dxdy
=∫_{0～∞}λe^{-λy}[-e^{-λx}]_{max(0,y-w)～y+w}dy
=∫_{0～∞}[λe^{-λy-λmax(0,y-w)}]dy-e^{-λw}∫_{0～∞}λe^{-2λy}dy
=∫_{0～w}λe^{-λy}dy+e^{λw}∫_{w～∞}λe^{-2λy}dy-(e^{-λw}/2)[-e^{-2λy}]_{0～∞}
=[-e^{-λy}]_{0～w}+(e^{λw})[-e^{-2λy}/2]_{w～∞}-(e^{-λw}/2)
=1-e^{-λw}