事後確率（たけしのコマ大の問題）

質問

たけしのコマネチ大学数学科の問題で、５回に１回の割合で忘れ物をする人が４箇所A,B,C,Dを通って帰宅した時点で忘れ物を１つしたことに気がついた。Bに忘れ物をした確率は？というのがありました。
私は、Aで忘れ物をする確立もBで忘れ物をする確率も、CでもDでも同じ確率のはずなので、単純に４つの等確率の事象から１つを選ぶので 1/4　と計算しました。しかし番組では違う値が正解となってました。模範解答を見ましたが納得できません！！

模範解答では、「Bで忘れ物をした確率／１回どこかで忘れ物をした確率」で計算するのですが、Bで忘れ物をした確率を　4/5 x 1/5 としていました。考え方は理解できますが分子は、4/5 x 1/5　x 4/5 x 4/5 でないとおかしいのではないでしょうか？つまり、「Bで忘れ物をした」とは「Aで忘れ物をしない」かつ「Bで忘れ物をする」だけでなく、さらに「Cで忘れ物をしない」かつ「Dで忘れ物をしない」としないとおかしいと思います。模範解答の計算では、BとCで忘れ物をした確率も含んでしまうと思います。
同様に分母の「１回どこかで忘れ物をした確率」の計算も１－「１回も忘れ物をしないで帰宅した確率」ということで　１－ 4/5 x 4/5 ｘ　4/5 x 4/5　と計算してましたが、さらに「２箇所で忘れた確率、３箇所で忘れた確率、４箇所全部で忘れた確率」も引く必要があると思います。

回答No.8

aquarius_hiro · ベストアンサー

usatan2さん、こんにちは。

会話が込み入っていてあまり読んではいないのですが…。

> 「５回に１回の割合で忘れ物をする癖のある人がいます。
> A・B・C・Dの４箇所を回って家に帰ったとき、忘れ物をしたことに気がつきました。
> ２番目のBに忘れ物をした確率を求めなさい。ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」

この最後の条件を、「ただし忘れるおそれのある持ち物は一つだけでした。」という条件に置き換えると、まだ忘れ物をしたかどうかを調べていない段階で、

Aで忘れる確率 1/5 … (1)
Bで忘れる確率 4/5×1/5 （Aで忘れていないことが必要だから）…(2)
C 4/5×4/5×1/5 … (3)
D 4/5×4/5×4/5×1/5 … (4)
どこにも忘れない 4/5×4/5×4/5×4/5 … (5)

になりますね。忘れ物をしたことが判明した段階で、(5)がなくなるので、テレビの模範解答のように、

P = [4/5×1/5]/[1-4/5×4/5×4/5×4/5] …(6)

になります。逆に言うと、模範解答から逆算すると、

　　「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」
　＝「ただし忘れるおそれのある持ち物は一つだけでした。」

と解釈することが期待されていたように思われます。

しかし、この二つの条件は、本当は意味が違います。

テレビの問題文では、結果的に１箇所だけだったのか、それとも１箇所しか最初からありえなかったのかが曖昧であり、また持ち物の数はいくつだったのかが分かりません。

沢山持ち物があった場合には、持ち物がいくつであっても、０個になっていない限り、あくまでも回数で見て、「５回に１回の割合で忘れ物をする癖」なわけなので、

Aで忘れる確率 1/5
Bで忘れる確率 1/5 （Aで忘れていても、他のものを忘れるかもしれないから）
C 1/5
D 1/5

どこにも忘れない 4C0×(4/5)^4
1箇所で忘れる 4C1×(1/5)^1 (4/5)^3
2箇所で忘れる 4C2×(1/5)^2 (4/5)^2
3箇所で忘れる 4C3×(1/5)^3 (4/5)^1
4箇所で忘れる 4C4×(4/5)^4

後から「忘れ物をしたのは一箇所だけだった」と分かったので、Bで忘れ（他では忘れていない）確率は、

P = [(1/5)^1(4/5)^3]/[4C1×(1/5)^1 (4/5)^3] = 1/4 …(7)

になります。これはご質問のお答えに一致していますね。

もしも、「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」が、「ただし忘れ物をすることができるのは、どこか１箇所だけです。」であれば、これは「持ち物が一つ」と言っているのと同じことなので、(6)の確率が答えになりますが、「忘れ物をしたのは」と言っているのは、後から調べたらとも取れるので、大変曖昧な問題だと思います。

「ただし持ち物は４つ以上であり、また、忘れ物をしたのはどこか１箇所だけでした。」
　　⇒(7)
「ただし忘れ物をすることができるのは、どこか１箇所だけです。」
　　⇒(6)
「持ち物は一つだけでした。」
　　⇒(6)
「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」（テレビの問題の文章）
　　⇒悪文で持ち物の数も分からないので問題文の不備。

ということなのではないでしょうか。

単に出題者がミスをしたということ以外に、考えられる可能性の一つとしては、もしかしたら、「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」というのは、「受験算数」独特の言い回しで、「但し書き」は時間的な前後は度外視して大前提として解釈し、一番最初からその範囲内で問題のすべてを考えなさいということがあるのかもしれません。つまり、それを大前提にすると、そのようなことが最初から断定的に言えるためには、持ち物は1個だけだったと考えざるを得ないわけで、それで解答(6)を導かせたいのかもしれません。普通の感覚では、忘れ物は帰宅した時点で調べるものであり、最初の大前提として結果を持ってくるというのは、大変違和感があり気持ちのわるい文章だと思います。しかし、もしかしたら「受験算数」ではこういう言い回しをする習わしなのかもしれません。

考え方にミスがありましたらすみません。

お礼

回答ありがとうございます。

残念ながら、「事前確率では等しい２つの事象が、事後確率では異なる」ようなエレガントな問題だった訳ではなく、問題文が曖昧（不備）で「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです」の解釈により、模範解答にも私の回答にもなるということですね。

回答No.9

Quattro99

すみません。間違えていました。

1カ所しか忘れないことが事前にわかっている場合と、1カ所だけで忘れたことが事後にわかった場合では違いました。
後者を625回試行して確率通りに起きたとして考えると（つまり、樹形図を書いたつもりで考えると）、Aだけに忘れ物をした場合、Bだけ、Cだけ、Dだけはいずれも64回ずつ起きることになり、確率は1/4です（確率計算としては、ご質問の後半で書かれているのと同じです）。

#8さんが書かれたように「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです」で「忘れ物を“した”」という日本語をそのまま解釈すれば、忘れ物が1カ所だけであることは後からわかったとなると思います。
出題文がおかしいと思います。

おかしな回答で混乱させてしまい、申し訳ありませんでした。

お礼

何回も、回答ありがとうございます。

No.8さんへのお礼でも書きましたが、今回の問題は、残念ながら、「事前確率では等しい２つの事象が、事後確率では異なる」ようなエレガントな問題だった訳ではなく、問題文が曖昧（不備）で「ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです」の解釈により、模範解答にも私の回答にもなるということですね。
番組では、もっと意外性のある面白い問題、エレガントな問題を出してもらいたいですね。

回答No.7

Quattro99

> これらは事前確率ですよね。このほかに「どこにも忘れ物をしなかった確率」が加わって全事象になるといっているのでおかしくないと思います。
事前確率、事後確率というのはよくわかりませんが、「忘れ物をしたことが判明していない場合」というのを事前確率というのならそういうことになります。しかし、問題で「忘れ物をした」と言っているのでそういう確率を求める問題ではありません。条件付き確率になります。

> あるいはこれが事後確率であれば、すでにBで忘れ物をした確立は4/25と計算されたことになりませんか？
なりません。4/25は「忘れ物をしたことが判明した」という条件がないときの確率です（ただし、「忘れ物をするとしても1カ所だけである」という条件はある）。

> やっぱりこの問題では、事前確率であってもAとBで忘れ物をする確率は違うということでしょうか？
AとBとで確率が違うのは、「どこか1カ所で“だけ”忘れ物をした」という条件がある条件付き確率であるからです。

> やっぱり、ただし書きがあるということは、２箇所以上に忘れ物をする可能性があるといっている気がします。
2カ所以上に忘れ物をする可能性はあるが、今回は忘れもをしたのは1カ所だけであることが判明した場合という条件付き確率です。この問題では2カ所以上に忘れ物をしている確率は0です。

繰り返しになりますが、「忘れ物をしたことに気がついた。忘れ物をしていない確率は？」という問題の答えが0でないのはおかしいです。

回答No.6

Quattro99

> そうですか？No.5さんは事前確率と事後確率を混同されてませんか？
違いますか？
例えば、「5回に1回の割合で忘れ物をする人が、Aにいって帰ってきたとき忘れ物をしたことに気がついた。忘れ物をしていない確率は？」という問題の答えは4/5なんですか？
あるいは、「○と×のカードが1枚ずつあり、裏返しに置いてある。右のカードをめくったら○だった。左のカードが○である確率は？」という問題の答えは1/2なんでしょうか？

回答No.5

Quattro99

> 番組では、これにどこにも忘れ物をしなかった確率4/5ｘ4/5ｘ4/5ｘ4/5=256/625を足して１にしていました。

それはおかしいと思います。「忘れ物を1つしたことに気がついた」時点で、どこにも忘れ物をしていない確率は0です。

1つだけものを持って625回試行し確率通りになったとすると、125回Aに忘れ、100回Bに忘れ、80回Cに忘れ、64回Dに忘れ、256回忘れずに帰宅することになります。忘れたことがわかった時点では、256回ぶんは除外されて、369回中100回Bに忘れていることになります。「忘れたことがわかった時点で、625回中256回は忘れずに帰宅している」ではわけがわかりません。

模範解答のような答えになる問題を出したかったのだろうと思いますが、出題の意図と問題文が一致していないのだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。
話題がそれてしまいますが、

No.5>> 番組では、これにどこにも忘れ物をしなかった確率4/5ｘ4/5ｘ4/5ｘ4/5=256/625を足して１にしていました。
No.5>それはおかしいと思います。「忘れ物を1つしたことに気がついた」時点で、どこにも忘れ物をしていない確率は0です。
そうですか？No.5さんは事前確率と事後確率を混同されてませんか？

No.3＞その解答の要領で考えると、Aに忘れ物をした確率は1/5、Bが4/25、Cが16/125、Dが64/625となると思います。合計すると1になりません。
これらは事前確率ですよね。このほかに「どこにも忘れ物をしなかった確率」が加わって全事象になるといっているのでおかしくないと思います。
あるいはこれが事後確率であれば、すでにBで忘れ物をした確立は4/25と計算されたことになりませんか？

やっぱりこの問題では、事前確率であってもAとBで忘れ物をする確率は違うということでしょうか？

ビデオを探して、正確な問題文を書き取りました：

「５回に１回の割合で忘れ物をする癖のある人がいます。
A・B・C・Dの４箇所を回って家に帰ったとき、忘れ物をしたことに気がつきました。
２番目のBに忘れ物をした確率を求めなさい。ただし忘れ物をしたのは、どこか１箇所だけです。」
やっぱり、ただし書きがあるということは、２箇所以上に忘れ物をする可能性があるといっている気がします。

＞模範解答のような答えになる問題を出したかったのだろうと思いますが、出題の意図と問題文が一致していないのだと思います。
単なる問題文の作成ミスなのでしょうか？

回答No.4

staratras

これはベイズの定理の問題だと思いますが、問題文の表現が不十分ですね。少なくとも「忘れる持ち物は一つだけ」という補足が必要です。（昔の入試問題では帽子になっていたようですが、確かに帽子を2つ以上かぶる人はいませんから誤解防止に役立ったでしょう。）そしてこの場合なら「模範解答」のような考え方で正解です。忘れる物が一つしかない場合、例えばＢで忘れ物をするとＣ以降で忘れることは不可能なので、質問者様のようにＢで忘れた確率を計算するのにＣ以降を計算する必要はなく、またＡ、Ｂ、Ｃ、Ｄで忘れた確率も同じにはなりません。（後になるほど小さくなる）

なお、この問題のポイントは、ＡＢＣＤを回って忘れ物に気づいた時点で、どこかで忘れ物をした確率が１になり、その後の考察はこれが大前提になるということです。（事後確率）

お礼

まさに、ベイズの定理の問題です。
＞「忘れる持ち物は一つだけ」という補足が必要です。
このような補足があれば、納得ですが、それなら初めから「Aで忘れ物をする確率」と「Bで忘れ物をする確率」は違っているのは明白なので問題として面白さにかけます。エレガントさに欠けるただの問題ですよ。

質問というか私の疑問は、このような補足がなくても、「１回どこかで忘れ物をした」という情報が入った段階での事後確率では、「Aで忘れ物をする確率」と「Bで忘れ物をする確率」は異ならないのでしょうか？　
補足条件がなく、しかも事後確率でなければ、両者は等確率ですよね。
私としては、「補足条件がなく、事後確率なら、ｘｘｘだから両者の確率に差がでる」という回答を期待しているのですが・・・

番組では、事前確率では等しい２つの事象が、事後確率では異なるような別の例を出していました。ですから、てっきり本問題もその例かと思ってしまいました。

回答No.3

Quattro99

その模範解答はおかしいように思います。
その解答の要領で考えると、Aに忘れ物をした確率は1/5、Bが4/25、Cが16/125、Dが64/625となると思います。合計すると1になりません。
1つ忘れたという忘れ物がどこで忘れたものであるのか？という問題だと思いますので、合計すると1になっていないとおかしいと思います。1でないなら、残りの確率はいったい何が起きる確率だというのか模範解答をした人に聞いてみたいです。

5回に1回忘れ物をするというのは、いくつでも忘れ物をする可能性があると考えられ（また、「忘れ物を1つしたことに気づいた」という文章からも忘れ物をする数に制限はないと考えられます）、4ヶ所のうちAだけで忘れ物をする確率は(1/5)*(4/5)*(4/5)*(4/5)=64/625、Bだけに忘れ物をする確率は(4/5)*(1/5)*(4/5)*(4/5)=64/625、同様にCだけもDだけも64/625です。
4ヶ所のうち1ヶ所だけで忘れ物をしたことがわかったとき、Bで忘れ物をした確率は、(64/625)/{(64/625)*4}=1/4だと思います。お考えのように、4ヶ所とも同じ確率で合計が1であることから1/4とするのと同じことです。1/4で正しいと思います。

模範解答が求めているのはAで忘れ物をせずにBで忘れ物をした確率を求めているだけです。

仮に問題の条件が、5回に1回忘れ物をする人がものを1つだけ持って4ヶ所を周り、忘れ物をしてきたという場合なら、それぞれの場所で忘れ物をする確率（忘れ物をしたかどうか判明する前）は上で「模範解答の要領で考えると」として解答した確率になり、合計が369/625で残りの256/625は忘れ物をしていない確率となり、忘れ物をしたとわかった時点でのBで忘れ物をした確率は、(4/25)/(369/625)=100/369となると思います。

お礼

＞その模範解答はおかしいように思います。
＞その解答の要領で考えると、Aに忘れ物をした確率は1/5、Bが4/25、Cが16/125、
＞Dが64/625となると思います。合計すると1になりません。
番組では、これにどこにも忘れ物をしなかった確率4/5ｘ4/5ｘ4/5ｘ4/5=256/625を足して１にしていました。
ですから、合計して１にならないから模範解答がおかしいとはいえないと思います。

でも、
＞5回に1回忘れ物をするというのは、いくつでも忘れ物をする可能性があると考えられ（また、「忘れ物を1つしたことに気づいた」という文章からも忘れ物をする数に制限はないと考えられます）、
ご同意、ありがとうございます。この条件なら私の答えと同じ1/4ですね。計算ありがとうございます。

模範解答は、「1つだけ持って4ヶ所を周り」という条件でのNO3さんの計算と同じでした。
やっぱり、問題と模範解答が一致してないんですね。

回答No.2

jokyoju

問題文の設定があいまいではないでしょか。
この回答を見る限り忘れ物は１つしかできない設定をしない限り
satan2さんのとおり1/4が正解になると思います。
ただし忘れ物をできる数に制限がない場合で
１つと１回を同じと考えればという条件のもので

たとえば物を１つ持って１箇所に出かけ帰宅すると忘れ物をする確率が1/5という条件で
＜物を１つ持って４箇所A,B,C,Dを通って帰宅した時点で忘れ物を１つしたことに気がついた。Bに忘れ物をした確率は＞
という問題であれば番組の答えになると思います。

蛇足ですが、忘れ物をできる個数が１つでない場合はBに２つ忘れる可能性もありこの問題の設定では解けないのでは

お礼

ありがとうございます。
おっしゃるように問題が
＜物を１つ持って４箇所A,B,C,Dを通って帰宅した時点で忘れ物をしたことに気がついた。Bに忘れ物をした確率は＞
であれば、Bで忘れ物をするには、Aで忘れ物をしなかった場合という条件つきになるので、両者の確率が違うので模範解答で納得なんですが・・・

＞蛇足ですが、忘れ物をできる個数が１つでない場合はBに２つ忘れる可能性もありこの問題の設定では解けないのでは
なるほど・・そこまで考えませんでした。たとえば１０個持っている場合、Aで何も忘れ物をしない確率は(4/5)の１０乗になるということですよね。

回答No.1

blacklabel

難しいこと判りませんが、まだ起きてない未来のことを含むという考えが間違えているでしょう。
その時点で起こる確率は、過去の起こりえる事象に影響はあるけど、未来起こる予定のことによって影響されることはありませんから。
Ｂの時点で忘れ物すれば、それ以降の忘れ物の確率はゼロです。
従って、Ｃ以降でＢで忘れ物した場合の確率を引いてあるのです。