A^2-B^2=(A+B)(A-B)の応用？

質問

とある問題の途中に出てきた式なんですが…

S_2n=1^2-2^2+3^2-4^2+・・・+(2n-1)^2-(2n)^2
の後に、問題の解答では
「ここで、(2k-1)^2-(2k)^2={(2k-1)+2k}・(-1)であるから
　S_2n=-(1+2+3+・・・+2n)」
となっています。しかし、何故いきなり解答1行目から2行目にいけるのかが分かりません。
どなたか解る方、その過程を教えてください。

回答No.2

debut · ベストアンサー

＞A^2-B^2=(A+B)(A-B)の応用？

その通りです。２項ずつみて、
Ｓ_2n=(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+・・・・+((2n-1)^2-(2n^2))
　　=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+・・・+(2n-1+2n)(2n-1-2n)
　　=-(1+2)-(3+4)-・・・・-(2n-1+2n)
　　=-(1+2+3+4+・・・+(2n-1)+2n)
です。

お礼

答までの過程を丁寧に記載していただいて、ありがとうございました！
-1を共通因数としてくくりだして、その後に苦しみましたが、実際に少し書き出してみるとわかりやすいですね。

回答No.3

tarame

＞(2k-1)^2-(2k)^2={(2k-1)+2k}・(-1)であるから
k=1のとき　1^2-2^2＝-(1+2)
k=2のとき　3^2-4^2＝-(3+4)
　：　　　　　　　　：
k=nのとき　(2n-1)^2-(2n)^2＝-(2n-1+2n)　だから

Ｓ_2n
＝(1^2-2^2)+(3^2-4^2)+…+{(2n-1)^2-(2n)^2}
＝-{(1+2)+(3+4)+…+(2n-1+2n)}　　となります

お礼

実際に書いてみる、ということの大切さがわかったような問題でした（笑）
回答ありがとうございました！

回答No.1

Evreux

元の式の右辺に規則性があるのはわかりますよね？
プラスとマイナスが交互に出てくるので、二項ずつまとめて扱えばいいという発想です。
あとは、kに1からnを代入して和をとります。

お礼

なるほど！二項ずつ扱えば、-1でくくれて、括弧内が解答のようになるということですね。
回答ありがとうございました！