数列の応用 至急教えてください！

質問

突然すみません。

　下の写真の問題を解ける方、出来る限り途中式を残したままの解答を頂きたいのです。

　ちなみに答えは、
　　360（1）a1=1/3
　　　　　　a2=5/9
　　　　　　a3=13/27
　　　　（2）an+1=2/3-1/3an
　　　　（3）an=1/2*[1+（-1/3）^n]

　です。

回答No.1

2HOI · ベストアンサー

まず最初から行きます。
さいころを投げると1/3の確率で+2、1-1/3＝2/3の確率で+1されます。
(1)のa[1]を求めます。最初は0からなので、1回投げて偶数になるのは+2される場合のみ、つまり1/3です。
a[2]は、+1と+1、または+2と+2の場合に偶数になるので、+1と+1の確率は2/3 × 2/3=4/9、+2と+2の場合は1/3 × 1/3=1/9、両方を足して、4/9+1/9=5/9となります。
a[3]の場合は、2回振ったときに偶数なら+2、奇数なら+1で偶数になるので、
2回振ったとき偶数の確率×3回目が+2の確率　に、　2回振ったとき奇数の確率×3回目が+1の確率　を足したものです。
a[2]が2回振ったとき偶数の確率で、1-a[2]が2回振ったとき奇数の確率なので、
a[3] = a[2]×1/3 + (1-a[2])×2/3 = 5/9×1/3 + 4/9×2/3 = 13/27 となります。
(2)を解きます。(1)のa[3]を解いた時と同じようにすると、
a[n]の場合は、n-1回振ったときに偶数なら+2、奇数なら+1で偶数になるので、
n-1回振ったとき偶数の確率×n回目が+2の確率　に、　n-1回振ったとき奇数の確率×n回目が+1の確率　を足したものになります。だから、
a[n] = a[n-1]×1/3 + (1-a[n-1])×2/3 = (2-a[n-1])/3 です。
そしてこの漸化式を解きます。
まず、解きやすい形に変えます。ここでは等比数列に変えます。
(a[n]+p)=q×(a[n-1]+p) p,qは定数　に変えればいいので、展開します。すると、
a[n]+p = q×a[n-1]+q×p
a[n] = q×a[n-1] +q×p-p　とでき、
a[n] = -1/3×a[n-1] +2/3　と比較すると、
q = -1/3
q×p-p = 2/3
p = -1/2　となります。
(a[n]+p)=q×(a[n-1]+p)　について、a[n]+pをb[n]とおくと、
b[n] = q×b[n-1]
b[n] = q^n×b[0] で、
b[0] = a[0]+p と、0回目は確率1で偶数な事とp=-1/2から
b[0] = 1/2 、q=-1/3から
b[n] = (-1/3)^n × 1/2 が分かり、
a[n]+p = b[n] なので
a[n] = b[n]-p より、
a[n] = (-1/3)^n × 1/2 +1/2 =1/2×(1+(-1/3)^n) となり(3)が求まります。
これでどうでしょうか。

お礼

ありがとうございます。大変分かりやすく、数学の苦手な私でも理解できました！本当にありがとうございます！