定積分の応用

質問

(問い）ｎ≧２とする。（１／２)＋（１／３）＋（１／４）、、、＋（１／ｎ）＜logｎ＜１＋１／２＋、、、＋１／ｎ－１を示せ。

∫（１～ｎ）１／ｘｄｘ＝logｎ
また、∫（１～ｎ）（１／ｘ）ｄｘ＝∫（１～２）（１／ｘ）ｄｘ＋∫（２～３）１／ｘｄｘ＋、、、＋∫（ｎ－１～ｎ）１／ｘｄｘより、logn＝Σ（１～n-1)∫（ｋ～ｋ＋１）１／ｘｄｘ
自然数ｋに対して、ｋ＜ｘ＜ｋ＋１とすると（★）１／ｋ＋１＜１／ｘ＜１／ｋ。
∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｋ＋１）ｄｘ＜∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｘ）ｄｘ＜∫（ｋ～ｋ＋１）１／ｋｄｘ

⇔１／ｋ＋１＜∫（ｋ～ｋ＋１）（１／ｘ）ｄｘ＜１／ｋ（(1)）
(1)についてｋ＝１からｎ－１として足し合わせると、
（以下略）

解答を読んでその中心的話題はりかいできたのですが、★のようなことを勝手に仮定してもよいのかということに戸惑っております。
なぜこのような仮定をしてもよいのでしょうか?

回答No.1

noname#199771 · ベストアンサー

＞★のようなことを勝手に仮定してもよいのか
＞ということに戸惑っております。

それは仮定ではありません。

ｘについての関数1／ｘが単調減少（反比例の関数）
なので、ｘが積分範囲であるｋ＜ｘ＜ｋ＋１にある限り
必然的に★になるのです。

回答No.3

noname#199771

#1です。

#2を見て気づきましたが、#1では
（★）＝”１／ｋ＋１＜１／ｘ＜１／ｋ”
と解釈して回答を書いています。

しかし、仮に質問者が
”ｋ＜ｘ＜ｋ＋１とすると”＝（★）
の意味で考えていたとしても了解
してもらえるだろうと思っています。

もし了解できなければ補足を書いて
ください。

もし補足やお礼の書き方（操作方法）
がわからないなら一旦この質問を
締めきって質問しなおしてください。

お礼

理解できました。ありがとうございました

回答No.2

Tacosan

「★のようなこと」ってのは, 具体的には何?