積分の変形（大学受験）

質問

現在、「定積分」の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は
負でない整数nについて、I(n)=∫(0→1)x^(2n)/(1+x^2)dxとする。
(1) I(n)+ I(n+1)をnを用いた式で表せ。
答え→1/(2n+1)
(2) Σ（k=0→(n-1)）(-1)^k/(2k+1)= I(0)+An I(n)を満たすAn の値を求めよ
です。

わからないのは、(2)ですが、(2)で(1)を利用するようなので、（１）も記しました。

（２）の解答は、
（１）より
Σ（k=0→(n-1)）(-1)^k/(2k+1)= Σ（k=0→(n-1)）(-1)^k{ I(k)+ I(k+1)}・・・（ⅰ）
となり、ここまでは理解できたのですが、この後
¬ ＝I(0)+ (-1)^(n-1)I(n)・・・（ⅱ）
よってAn＝(-1)^(n-1)

となっていました。
ⅰ→ⅱへの変形過程がわかりません。変形過程というほどのものがあるのかわかりませんが。

私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

問題の
Σ（k=0→(n-1)）(-1)^k{ I(k)+ I(k+1)}
ですが、たとえばn=4のとき

I(0)+I(1)
-( I(1)+I(2) )
+I(2)+I(3)
-(I(3)+I(4))

=I(0)-I(4)

ですね。要するにI(1)からI(n-1)までは符合の違うものがちょうど2回ずつ表れて消えます。ほかのnでも試してみられてはいかがでしょうか。なお、和の記号のままで示すと、

Σ[k=0,n-1](-1)^k{ I(k)+ I(k+1)}

=Σ[k=0,n-1](-1)^k I(k) + Σ[k=0,n-1](-1)^k I(k+1)（展開しただけ）

=Σ[k=0,n-1](-1)^k I(k) + Σ[k=1,n](-1)^(k-1) I(k)（前の項はそのまま、打ち消しあうことを見越して後ろの項のI(n)の添え字を前の項と同じkに揃える）

=(-1)^0 I(0) + (-1)^(n-1) I(n) +Σ[k=1,n-1]((-1)^k+(-1)^(k-1))I(k)（k=1～n-1までは範囲がかぶるので再度まとめる、前の項のk=0および後ろの項のk=nはくくれないので個別に出しておく）

=I(0)+(-1)^(n-1)I(n)

となります。和の記号や括弧が多くて分かりにくいと思うので一度手計算されることをおすすめします。

お礼

killer_7さま、御回答ありがとうございました。
やはり読んだだけでは、わかりにくかったので、実際にやってみますと、おっしゃるとおりになりあした。おかげさまで理解することができました。ありがとうございました。

回答No.2

debut

Σ(k=0→(n-1))(-1)^k{I(k)+I(k+1)}の部分を、
kに 0,1,2,…,n-2,n-1 と入れて式を書いていくと
見えてくると思います。

　=(-1)^0{I(0)+I(1)}+(-1)^1{I(1)+I(2)}+(-1)^2{I(2)+I(3)}+……+(-1)^(n-2){I(n-2)+I(n-1)}
　 +(-1)^(n-1){I(n-1)+I(n)}
=I(0)+I(1)-I(1)-I(2)+I(2)+I(3)+……+(-1)^(n-2)I(n-2)
　 +(-1)^(n-2)I(n-1)+(-1)^(n-1)I(n-1)+(-1)^(n-1)I(n)

これで明らかなように、２項目と３項目、４項目と５項目、……と隣り合った項が、最初と最後を残してすべて消せるわけです。

　したがって、I(0)+(-1)^(n-1)I(n)　と変形できます。

お礼

debutさま、御回答ありがとうございます。
実際にやってみて、わかりました。やはり解答をながめているだけではだめですね。ありがとうございました！