微分方程式の問題について

質問

xy^2y"+y'(1+y^2)=0

という問題です。
y^2でｙの２乗、y"はyの二階微分、y7'は1階微分をあらわします。

変数分離とか、同次形とかのように形がすぐに分からなくて、
困っています。

簡単な問題かもしれませんが、
どうか、よろしくお願いいたします。

回答No.2

oshiete_goo · ベストアンサー

ご質問の
p=dy/dt=1/y + 1/C・・・(1)
の部分ですが,
少々補足と共に説明いたします.
(1)では右辺に積分定数をCでなく1/Cの形でとりました.

すると dy/dt=1/y + 1/C は変数分離形で
dy/dt=(y+C)/Cy
{Cy/(y+C)}dy=dt
{C - C^2/(y+C)}dy=dt
Cy-C^2・log(y+C)=t+C1
ここでt=logxより
Cy-C^2・log(y+C)=logx +C1 [C,C1は定数] ・・・(２)
という導出です.

p=0よりy＝C　[Cは定数]
の方は問題ないと思います．

ところで，答えておいて何なんですが，1箇所気になるところがあって，
(1)の右辺で積分定数を1/Cととらずに0としたときは
p=dy/dt=1/y　より　ydy=dt
よって　(y^2)/2=t+C' ⇔　(y^2)/2=logx +C'　[C'は定数]・・・（３）
これは（２）式でC→∞などとしても，特殊解として再現できないようなので， （３）も特異解として加えておかないといけないかも知れません．あまりうるさいことを言わないときは気にしなくてもいいのでしょうが，その点はご注意ください．

お礼

回答ありがとうございます。

非常によく、理解できました。

お手数おかけして、申し訳ございませんでした。

有難うございます。

回答No.1

oshiete_goo

広義の同次形の微分方程式で，一般論はお調べください．
概略は以下のとおりです．
参考文献：培風館「常微分方程式の解法」木村俊房著

x=e^t とすると　y'=e^(-t)dy/dt，y''=e^(-2t)(d^2y/dt^2 - dy/dt)　より
(与式)⇔　y^2(d^2y/dt^2)+dy/dt=0
p=dy/dtとして　y^2・p・(dp/dy)+p=0

すると　y^2・dp/dy=-1 ・・・(1)　または　p=0　・・・（２）
(1)より　p=dy/dt=1/y + 1/C で　Cy-C^2・log(y+C)=logx +C1 [C,C1は定数]
(2)より　y＝C　[Cは定数]

補足

回答ありがとうございます！

最後の

p=dy/dt=1/y + 1/C で　Cy-C^2・log(y+C)=logx +C1 [C,C1は定数]

の箇所が、考えても分かりません。
本当に簡単な計算かもしれませんが、どうか教えてください。
お手数かけて、申し訳ございません。
よろしくお願いいたします。