微分方程式の解法について

質問

以下の微分方程式の解法が分かりません。y '=pと置いて変数分離で解くことを試みたのですが、行き詰まってしまいました…。

2xy"=√{1+(y ')^2}、y(1)=y '(1)=0

回答よろしくお願いします。

回答No.2

inara · ベストアンサー

y '= p と置いて変数分離で解くことを試みたそうですが、その結果こうなったと思います。
　　　　dp/√( 1 + p^2 ) = dx/( 2*x ) --- (1)
これが guuman さんの言うところの dp・f(p)=dx・g(x) の形です。左辺は p だけの式、右辺は x だけの式なので、こういう形を「変数分離形」と言います（偏微分方程式でも変数分離形が出てきます）。

ここで、runway24r さんもやったと思いますが、p = tan(t) とおいてもダメです。1 + p^2 = t^2 とおいてもダメです。

ちょっと天下り的ですが、以下の関係式は覚えておいてください（証明は後ろに書いておきます）。
　　　　∫dp/√( 1 + p^2 ) = arcsinh( p ) + C
　　　　∫dp/√( 1 - p^2 ) = arcsin( p ) + C
arcsinh は sinh の逆関数、arcsin は sin の逆関数です。

この関係式を使えば、式(1)の左辺を積分したものは arcsinh( p ) + C1、右辺を積分したものは 1/2*ln( x ) + C2 ですので
　　　　arcsinh( p ) = 1/2*ln( x ) + C2 - C1
C2 - C1 = C とおけば
　　　　p = y' = sinh{ 1/2*ln( x ) + C }

y '(1) = 0 なので、sinh(C) = 0　→ C = 0。したがって
　　　　y' = sinh{ 1/2*ln( x ) }
　　　　　 = [ exp{ 1/2*ln( x ) } - exp{ -1/2*ln( x ) } ]/2
　　　　　 = [ exp{ ln( √x ) } - exp{ -ln( √x ) } ]/2
　　　　　 = ( √x - 1/√x )/2
y を求めるには上式の両辺を積分して、y = ... + C' とし、初期条件 y(1) = 0 から積分定数 C' を求めれば、それが答えです。

【 ∫dp/√( 1 + p^2 ) = arcsinh( p ) + C の証明　】
　 p = sinh(q) とおけば（このとき、sinh(q) の値が何であっても、ルートの中は 1 + p^2 > 0 ）
　　　　1 + p^2 = 1 + sinh^2(q) = cosh^2(q)
　cosh(q) >1 なので
　　　　√( 1 + p^2 ) = cosh(q)
　一方、p = sinh(q) から
　　　　dp = cosh(q)*dq
　したがって
　　　　dp/√( 1 + p^2 ) = cosh(q)*dq/cosh(q) = dq
　両辺を積分すれば
　　　　∫dp/√( 1 + p^2 ) = q + C
　 p =sinh(q) だったので、q = arcsinh(p)。したがって
　　　　∫dp/√( 1 + p^2 ) = arcsinh(p) + C

【 ∫dp/√( 1 - p^2 ) = arcsin( p ) + C の証明　】
　 p = sin(q) とおけば（ | sin(q) | ≦1 なので、ルートの中は 1 - p^2 ≧ 0 ）
　　　　1 - p^2 = 1 - sin^2(q) = cos^2(q)
　q の範囲を -π/2 ≦ q ≦ π/2 に限定すれば、cos(q) ≧ 0 なので
　　　　√( 1 - p^2 ) = cos(q)　
　一方、p = sin(q) から
　　　　dp = cos(q)*dq
　だから
　　　　dp/√( 1 - p^2 ) = cos(q)*dq/cos(q) = dq
　両辺を積分すれば
　　　　∫dp/√( 1 - p^2 ) = q + C
　 p = sin(q) だったので、q = arcsin(p)。したがって
　　　　∫dp/√( 1 - p^2 ) = arcsin(p) + C

お礼

逆三角関数を使うことに気が付きませんでした。この回答を参考に解いてみたところ、正解にたどり着くことができました。丁寧な回答を頂き、感謝しています。

回答No.1

guuman

dp・f(p)=dx・g(x)
の形にして補足に書け