常微分方程式

質問

y'' + 3y' + 2y = e^(4x)

の一般解を求めたいのですが、（右辺）＝０とおいて、同次解
y = Ae^(-2x) + Be^(-x) (A,B:任意定数)を求めたところで手が
止まってしまいしました。
過去の質問を読んで、

>右辺があるときにこの式を満たす解を加える

とあったのですが、頭がたりないのか、意味がよく分かりません。

ここから先、どのようにすれば一般解が求まるのでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.3

aquarius_hiro · ベストアンサー

こんにちは。

y'' + 3y' + 2y = e^(4x) … (1)

の右辺を L[y] とおきます。

まず一つ覚えていただきたいことは、

L[y] は、y= y_1(x) + y_2(x) のように二つの関数の和を代入すると、

L[y_1 + y_2] = L[y_1] + L[y_2] 　…　(2)

のように足し算に分解できることです。
（これはyの一次だけでできているからです。）

この性質があるときに、

L[y] = f(x) … (3)

の形の微分方程式（今の場合はf(x)=e^{4x}）の一般解を求めるには、

L[y] = 0　←　右辺がない（すなわち、イコール0）のとき　… (4)

の一般解 y_0(x) を求め、これに

L[y] = f(x) ← 「右辺があるとき」（右辺に関数があるとき）… (5)

の（何でも良い）特殊解 u(x) （i.e., ともかくL[u]=f(x)を満たすもの）を加え、

y(x) = y_0(x) + u(x) … (6)

という関数を作れば、

L[y] = f(x)

の一般解になります。

[証明]
一般解であることを示すには、方程式を満たすこと（解であること）と、任意定数を二つ含むことを示せば良いです。

まず、方程式を満たすことは、代入して (2)の性質を使うと、

L[y] = L[y_0(x) + u(x)] = L[y_0(x)] + L[u(x)] = 0 + f(x) = f(x)

と示すことができます。ここで、もともとy_0は(3)の（一般）解で、uは(4)の（特殊）解ですから、

L[y_0] = 0、L[u] = f(x)

を満たすことを使いました。

また、y_0(x) は一般解で、任意定数を二つ含んでいますので、y(x) = y_0(x) + u(x) にも任意定数が二つ含まれることになります。（第一項のy_0の中に。）

従って、y(x) = y_0(x) + u(x) は (3)の一般解であることがわかります。
（証明終わり）

さて、この証明によって、L[y] = f(x) の一般解を求める問題が、L[y_0]=0 の一般解を求める問題と、L[u]=f(x) の特殊解を求める問題に分解されたことになります。

今の問題の場合、y_0(x) は y_0(x) = Ae^{-2x} + Be^{-x} と求まっているのですから、次に L[y] = f(x) = e^{4x} を満たす特殊解（任意定数を含まなくて良い）を何でも一つ見つければ、(6) により、目的の一般解になります。

> >特殊解は、なんでもいいので、y'' + 3y' + 2y = e^(4x)を満たす関数を探せばいいです。
> これは何か決まった方法があるのでしょうか。それとも、本当に試行錯誤して見つけなければならないのでしょうか。

ケースバイケースです。
右辺のf(x)の形をよく見て、あてはまりそうな形を予想し、その範囲で決めていくという方法が一般的です。

今の場合は、右辺は f(x) = e^{4x} であり、また予備知識として、指数関数の微分の性質や、とくに e^{4x} の微分は 4 e^{4x} になり、定数が出てくるだけであることを知っています。

このことから、

L[u] = u'' + 3u' + 2u = e^{4x}

を満たしそうな u(x) の形としては、u(x) = C e^{4x} なのではないかという予想ができます。ここで C はこれから決める定数です。（任意定数とは関係ない。）もしこの予想が外れればまた別の形を試しますが、一番ありそうな雰囲気なので、これを試してみます。

これを代入し、

L[u] = L[C e^{4x}] = 16Ce^{4x} + 3・4Ce^{4x} + 2Ce^{4x} = e^{4x}

両辺を e^{4x} で割ると、30C = 1 より、C = 1/30 が得られます。

従って、u(x) = (1/30) e^{4x} が特殊解（の一つ）です。

（特殊解はこれでなくても、なんでも満たしさえすればよいですが、ともかく一つ見つかったので、これを用います。）

従って、(6) より、(3) の一般解は、

y(x) = Ae^(-2x) + Be^(-x) + (1/30) e^{4x}

と求まります。

実際、代入してみれば、L[y] = e^{4x} を満たしますし、任意定数も確かにA, B の二つが含まれています。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。これなら解けそうな気がしてきました。

ありがとうございました

回答No.5

velvet-rope

#1です。

計算間違いしてしまいました(今さら・・・)。
#3の方がご回答されているとおり、特殊解は(1/30)e^(4x)でした。すみません。

特殊解の見つけ方も、#3が書かれている通りです。

回答No.4

aquarius_hiro

ANo.3です。

すみません、またミスプリです。

> y'' + 3y' + 2y = e^(4x) … (1)
>
> の右辺を L[y] とおきます。

でなくて、「左辺をL[y] とおきます」です。

回答No.2

kabaokaba

「定数変化法」というのを勉強してください．
http://bowie.mech.nagasaki-u.ac.jp/~sai/Math/TeXT/node32.html

基本線は
y = Ae^(-2x) + Be^(-x) のAとBをxの関数とみなして
y'=A(-2)e^{-2x}+A'e^{-2x} + B(-1)x^{-x}+B'e^{-x}
y''も同様に計算して
y'' + 3y' + 2y = e^(4x)
に代入してAとBを求めます．
ただし，これだけでは条件が不足なので
ちょっとした細工をします．
この細工の詳細は上記のサイトをご覧ください．
なお
>右辺があるときにこの式を満たす解を加える
の証明がこの定数変化法でできます．

==============
直観的には
y'' + 3y' + 2y = 0 の解が
y = Ae^(-2x) + Be^(-x)
だったら，y'' + 3y' + 2y = e^(4x)の何でもいい解が
一個決まればそれをf(x)として
y = Ae^(-2x) + Be^(-x) + f(x)
とすれば，前の二項は y'' + 3y' + 2y = 0 だし
f(x)はy'' + 3y' + 2y = e^(4x)だから答えになるのは
自明ですし，
二階常微分方程式だから解の空間の次元は2だろうから
y = Ae^(-2x) + Be^(-x) + f(x)
でOKだろうと理解できます．

お礼

回答ありがとうございます。

なんだかややこしいですね。
テストのときに時間内に間違わずに答えられるか自信がないです。

ありがとうございました

回答No.1

velvet-rope

下記の回答では、検算をしてません。
質問者様自身でご確認ください。

>右辺があるときにこの式を満たす解を加える

これは、
　y'' + 3y' + 2y = e^(4x)
の特殊解をy = Ae^(-2x) + Be^(-x) に加えるってことですね。
特殊解は、なんでもいいので、y'' + 3y' + 2y = e^(4x)を満たす関数を探せばいいです。すると、y = (1/21)e^(4x) が満たしますね。
ということで、y'' + 3y' + 2y = e^(4x)の一般解は
　y = Ae^(-2x) + Be^(-x) + (1/21)e^(4x)
でいいのではないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございます。

>特殊解は、なんでもいいので、y'' + 3y' + 2y = e^(4x)を満たす関数を探せばいいです。
これは何か決まった方法があるのでしょうか。それとも、本当に試行錯誤して見つけなければならないのでしょうか。

ありがとうございました。