微分方程式

質問

以下の問題がわかりません。
y''-y'-2y=αx
の解y=y(x)でlim　y(x)/x=2　(x→∞)を満たすものが存在する。このときのαの値を求めよ。

計算をして、一般解はy=Ae^2x+Be^(-x)+(2-x)/2α　(A,Bは定数）
と出しました。（この一般解が間違っていれば教えてください。）
この後が解けないので教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

特解が間違っています。
一般解はy=Ae^(2x)+Be^(-x)+(1-2x)(α/4)
y/x|(x→∞)=A{e^(2x)}/x|(x→∞)
+B{e^(-x)}/x|(x→∞)
+{(1/x)-2)}(α/4)|(x→∞)
右辺第一項はA=0でないと発散するのでA=0でなければならない。
右辺第二項は0に収束する。
右辺第三項は「-α/2」に収束する。
全体が2に収束するから
-α/2=2でなければならない。
以上から
A=0,α=-4
が出てきます。
この時、題意を満たす解はy=Be^(-x)+2x-1

お礼

ご回答ありがとうございます。よく理解できました^^

回答No.2

fef

一般解が少し違うようです．
正しくは，
y(x) = A exp(2x) + B exp(-x) - (alpha/2) x + (alpha/4)
ですね．

一般解が求まっているので，それを使うことにしましょう．
注意すべきは，指数函数の発散の速さです．
極限をとっている函数 y(x)/x の中に exp(2x)/x という項がありますが，
この極限は
exp(2x)/x -> inf as x -> inf
となります．
したがって，極限値が存在するためには A = 0 が必要で，
A = 0 ならば
y(x)/x -> -(alpha/2) as x -> inf.
この極限値が 2 になるとき，alpha = -4 ですね．

数値を出すだけなら，もっと楽な方法もあります．
与えられた等式の意味をよくよく考えると，
十分大きい x に対して y は 2x + o(x) で近似できると言っているわけです．
そこで，この近似式を微分方程式に代入して，
-4x + o(x) = alpha x.
ゆえに，alpha = -4 と求まります．

お礼

ご回答ありがとうございました。簡単に求める方法があるんですね。全く気づきませんでした。