常微分方程式が解けません。

質問

前回、投稿した際に式が間違っていたので再度質問致します。

y''+(1/x)*y'+(k^2/x^2)*y=0

この方程式が解けません。’はxに関する微分でkは定数です。

前回ご指摘を受けたベッセル関数の件ですが少々形が違うため
公式を適用できませんでした。

どのように一般解を仮定して解けばよろしいでしょうか？

お願いします。

回答No.3

PRFRD · ベストアンサー

No.2への補足についてです．

結論から言えば，その条件では k を決定することはできません．
そして，偏微分方程式を解くためには，それを決定する必要はありません．

まず，その方程式を変数分離してそれぞれを独立に解くと
　y(k,x) = A(k) cos(k log x) + B(k) sin(k log x)
　g(k,u) = C(k) exp(k/h u) + D(k) exp(-k/h u)
となることが，既に分かっています．
（パラメータ k も解に関係するので，k に依存する部分を陽に書いておきます）．

ここでもとの偏微分方程式に戻って考えると，
　「任意の定数 k に対して y(k,x)g(k,u) がもとの偏微分方程式の解となる」
ということが，簡単にわかります．さらに，元の偏微分方程式が線型なので
　「もとの偏微分方程式の解の線型和もまた解となる」
ことがわかります．

以上の２点の注意から，y(k,x)g(k,u) を k について重み付けて足し合わせたものは，
すべて，もとの偏微分方程式の解となります．
従って，任意の（積分が発散しないような）関数α(k),β(k),γ(k),δ(k)について
F(x,u) =
　∫α(k) cos(k log x) exp(k/h u) dk +
　∫β(k) cos(k log x) exp(-k/h u) dk +
　∫γ(k) sin(k log x) exp(k/h u) dk +
　∫δ(k) sin(k log x) exp(-k/h u) dk
が，偏微分方程式の一般解となります．

初期条件・境界条件などがあれば，α, ..., δ にもっと条件がついたりしますが，
何も無ければこれくらい一般的な形しか書くことができません．

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

PRFRD

No.1の補足についてです．
元の偏微分方程式や，k の定め方が分からないので，あまり確実なことはいえません．
是非，もとの偏微分方程式について，境界条件などをちゃんと書いた上で，再質問してください．そちらで答えます．
（ある程度推測はできますが，ちゃんとしたことを聞いたほうが適切なことが言えます）

補足

たびたびご回答ありがとうございます。

元の偏微分方程式は以下のようになっています。

(d/dx^2)*F^2+(1/x)*(d/dx)*F+h^2*(1/x^2)*(d/du^2)＝０

これをＦ(x,u)= g(u)* y(x)で変数変換いたしました。

境界条件らしきものは見当たりません。

それぞれの一般解の形からできればkを決めてしまいたいです。

回答No.1

PRFRD

その方程式，もしくは分母を払って得られる方程式
　x^2 y'' + x y' + k^2 y = 0
は，オイラー型と呼ばれるタイプの微分方程式です．
（各項で x のベキと微分の階数が一致していることが特徴）

オイラー型方程式は，x = exp(t) の変数変換で解けます．実際，
　dy/dx = dy/dt dt/dx = (1/x) dy/dt
　d^2y/dx^2 = d/dx ( (1/x) dy/dt ) = (-1/x^2) dy/dt + (1/x^2) d^2y/dt^2
となるので，代入すると x が全部キャンセルして
　d^2y/dt^2 + k^2 y = 0
となります．これは y = A cos(kt) + B sin(kt) と簡単に解けるので，
代入しなおせば
　y = A cos(k log x) + B sin(k log x)
となります．

お礼

どうもありがとうがざいます。

補足

ありがとうございます。実はもう一つ伺いたいことがあるのですが、

これは偏微分方程式をf(x,u)=y(x)g(u)変数分離して常微分方程式にしたものです。

ある定数を今回は計算の都合上-k^2としました。

これを仮にy(x)= A cos(k log x) + B sin(k log x)

とした場合に、もう一方は　g(u)=Aexp(ku/h)+Bexp(-ku/h)

となりました。

このkはどのように決めるのですか？

できればf(x,u)の未知数を2つにしたいのですが。

よろしくお願いします。