線形代数の基本問題（解法教えて下さい。）

質問

基本的問題ですが、考え方がわかりません。
解答ではなく、考え方・ヒントを教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

1.R^nのベクトル｛a_1,a_2,…a_r｝は一次独立であるとする。このとき以下の組は一次独立であるか。
1)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r｝
2)｛a_1＋a_2,a_2＋a_3,…a_r-1＋a_r＋a_r＋a_1
｝
3)｛a_1,a_1＋a_2,a_1＋a_2＋a_3,…,a_1＋…＋a_r｝

2.W_1,W_2はR^4の部分空間とするとき、W_1∩W_2,W_1＋W_2の基底と次元を求めよ。([]内は列ベクトルです）
W_1=<[2 1 1 0],[2 -1 -3 2]>,W_2=<[2 1 -2 3],[1 1 0 1]>
考え方がわかりません。

3.基底{[2 1 1],[-1 -1 1],[3 0 2]},{[1 4],[2 5]}に関する表現行列が2×3列で、左からの列ごとに[3 2][0 -1][1 3]のとであるような線形写像f:R^3→R^2についてf([x y z])を求めよ。

4.W_1,W_2,W_3をR^nの部分空間とするとき、
(W_1∩W_2)＋(W_1∩W_3）⊂W_1∩（W_2＋W_3)であることを証明せよ。

5.m×nの行列A,Bに対して、rank(A＋B)≦rank(A)＋rank(B)を示せ。

教科書「教養のための線形代数」の問題です。
どなたか丁寧にご指導ください。m(__)m

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

1から4までは，ほとんど定義だけでできます．
ただし，部分空間の「＋」の記号の意味が分かりません
（想像はつきますが）．

教科書にある例題とか証明を自力で追いかけて，
行間を自分でノートに埋めるくらいのことをすれば
理解できるでしょう．

1 一次独立の定義を知ってますか？

2 部分空間の定義を知ってますか？
2 「＋」の定義を理解してますか？

3 線型写像の表現行列を理解してますか？

4 「＋」の定義を理解してますか

5に関しては， 当たり前すぎて逆にどう証明していいのか
ランクというのが列行列の生成する部分空間の次元だということを
使ってよいのならほとんど自明です．

お礼

ありがとうございました。

補足

kabaokaba さま　

　ありがとうございます。
再度確認してみます。m(__)m