線形写像の問題（基本）おしえてください！

質問

大学一回生です。線形写像（超基礎です…）について教えてください！

問題
「線形写像F:R^4→R^3 , F(x)=Axを考える。ただし

A[p1 p2 p3 p4]　(p1~p4は列ベクトル)　p1=[1 -3 2] , p2=[-2 7 -5] p3=[0 -1 1] p4=[2 -9 7]

(1)k=dim(KerF)とするとき、核KerFの（一つの）基底b1,b2,......,bkを求めよ

(2)この基底を延長したR4の基底b1,b2,b3,b4を作り、F(bk+1),...,F(b4)が、ImFの基底であることを示せ。 」

(1)は解けてb1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1]

わからないのは(2)なのですが…
b1,b2にe1,e2を追加した４個のベクトル
b1=[2 1 1 0] b2=[4 3 0 1] b3=[1 0 0 0] b4=[0 1 0 0]でこれがR^4の基底であることを証明してそのあと・・・

模範解答では
「ImFは、標準基底の像
a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4)
によって生成される。a1,a2は一次独立、したがって、a1=F(e1)=F(b3),a2=F(e2)=F(b4)は、ImFの基底である。」

となっているのですが

k=dim(KerF)=4-rankA=4-2=2なので
bk+1=b3だから
F(b3),F(b4)が、ImFの基底であることを示せば良いだけだと思うのですが、なぜ模範解答では「標準基底の像
a1=F(e2) a2=F(e2) a3=F(e3) a4=F(e4)・・・」などとおいているのでしょうか？？
わたしの解き方では不十分でしょうか？

とてもアホみたいな質問をしているかもしれません…申し訳ありませんがどなたか教えていただけると嬉しいです。

回答No.2

alice_38 · ベストアンサー

基底とは、一次独立な生成系のことです。
質問の箇所は、F(e1),F(e2) が ImF を生成する
ことを示しているのですが…
正直、ちょっと回りくどいですね。

A の列ベクトルから rankA 個の一次独立な
ベクトルを採り出せば、
それが ImF の基底になるという直感的な話を、
そのまま証明に反映させようとしている
のだとは思います。

とはいえ、b1,b2,b3,b4 が R~4 の基底である
ことを先に示してあれば、
F(b1),F(b2),F(b3),F(b4) が ImF を生成する
ことは自明であり、F(b1)=F(b2)=0 より、
F(b3),F(b4) が ImF を生成することになります。

いづれにしろ、後は、
F(b3),F(b4) が一次独立であることを示すだけ。
貴方のやり方のほうが、簡明です。

お礼

超入門書なので、却ってまわりくどい説明になってしまっているのかもしれません…

自分の方法で答えてみようと思います。

詳しい回答ありがとうございました！

回答No.1

koko_u_u

>F(b3),F(b4)が、ImFの基底であることを示せば良いだけだと思うのですが

それでいいんじゃね？

お礼

素早い回答ありがとうございます。
そうですよね！

そっちで答えることにします。