線形代数の部分空間Wの生成元の定義について

質問

部分空間W
の生成元の定義に補足で ※a1，・・・，akは、線形独立やWの基底である必要はない とあります。

しかし、このあとの例題で、 R^2の線形空間において、W={x=［x1 x2］|2x1-x2=0｝(注意:xは列ベクトルです)がR^2の部分空間であることを示し、Wの基底を求めよ。という問題で、結果x=[x1 x2]=[x1 2x1]=x1[1 2](注意:xは列ベクトルです)とのりa1=[1 2](列ベクトル)とおくと、a1
はこれのみで、線形独立であり、かつWの任意の元xはx=ca1と、a1の線形結合で表される。よって{a1｝はWの基底である。このとき、Wはa1で生成される空間とよんでもいい。とります。でもこれは※と矛盾しています。どなたか詳しい解説を頂けないでしょうか？

回答No.2

misumiss · ベストアンサー

結論からいうと, 矛盾はどこにもありません.
また, 後述するように, W の生成元は, W の生成系の選び方によって変わります.

S = { a_1, a_2, ....., a_k } を, W の部分集合とします.
W = <S> = <a_1, a_2, ....., a_k> が成り立つとき, S を W の生成系といいます（ここで, S は W に対して一意に定まるわけではありません）.
W = <S> の生成元とは, 生成系 S の元のことです.
つまり, a_1, a_2, ....., a_k を, W = <S> の生成元といいます.
このとき, S = { a_1, a_2, ....., a_k } が, W の基底（つまり, W の極小生成系）である必要はありません.
よって, 例えば, 0 ∈ S であっても構わないし, a_1 が a_2 と a_3 の線型結合で表せたとしても問題ありません.

例題では, R^2 の部分空間 W の生成系として, W のいろいろな部分集合が考えられます.
S_1 = { a_1 } = { [1, 2] } であってもいいし,
S_2 = { 0, a_2 } = { [0, 0], [2, 4] } でもいい.
W = <S_2> と考えるなら, 0, a_2 が生成元です.
しかし, S_2 は W の極小生成系ではありません（実際, S_3 = S_2 ＼ { 0 } = { a_2 } = { [2, 4] } とおくと, S_3 は W の生成系になっています）.
つまり, S_2 は W の基底ではなく, 実際, 0, a_2 は線型従属です.
W = <S_1> と考えるなら, S_1 の唯一の元である a_1 が生成元です.
そして, S_1 の真部分集合は, 決して W の生成系にはなり得ません.
よって, S_1 は W の極小生成系, つまり, W の基底といえます.

簡単にまとめるなら, "W の基底は必ず W の生成系だが, W の生成系は必ずしも W の基底にならない," ということです.

お礼

回答ありがとうございます。なるほど！線形独立やWの基底である必要はないけど、線形独立や基底であってもかまわないということですね！大変わかりやすかったです、ありがとうございました。

回答No.1

178-tall

引用がその通りか否かは判りませんけど、a1=[1 ; 2] が「W の基底である必要はない」のであって、基底であっても OK 、だと思われます。

これに a2=[3 ; 6] を加え、W は {a1, a2} で生成される空間と呼んでもよい、ということでしょうね。

お礼

回答ありがとうございます。では単に文章を間違って解釈してしまったということですね。大変参考になりました。