Michael直線

質問

i(Q)…「有理数全体の集合Qの内部」
Cl(P)…「無理数全体の集合Pの閉包」　を意味します。

「Michael直線Mについて、次を求めよ。
(1)　i(Q)
(2)　i(P)
(3)　Cl(Q)
(4)　Cl(P)

------------------------------------------------------------
Michael直線Mの定義を以下のようにします。　
M=(R,T)、T=E∪{{p}：p∈P}
　E：ユークリッド位相、R：実数全体
(1)∀q∈Qの近傍V(q)は必ず無理数を含むのでV(q)⊂Qとならないのでq∈i(Q)ではない。よって、i(Q)=φ。
(2)∀p∈Pには近傍{p}があり（Michael直線の定義）当然{p}⊂Pなのでp∈i(P)。よってi(P)=P。
(3)∀p∈Pには近傍{p}があり{p}∩Q=φとなるのでp∈b(Q)ではない、即ちP∩b(Q)=φ。PとQは排反だからb(Q)⊂Q。よってCl(Q)=Q∪b(Q)=Q。
(4)∀q∈Qの近傍V(q)は必ず無理数を含みV(q)∩P≠φなのでq∈b(P)、即ちQ⊂b(P)。よって、Cl(P)=P∪b(P)=P∪Q=R。
なお、(1)(2)について、i(A)≡{a∈A：V(a)⊂Aとなる近傍V(a)が存在}。また(3)(4)について、b(A)≡{x∈R：任意の近傍V(x)がV(x)∩A≠φとなる}。
---------------------------------------------------------------

最後の(4)　Cl(P)はＲではなく、やはりＭなのでしょうか？
また、（１）～（４）
証明または解答は合っていますでしょうか？
また、他の証明があれば教えて欲しいと思います。
宜しくお願いします。

回答No.1

arrysthmia

問題そのものはともかく、
質問中の例解が参考URLのベストアンサーに酷似している理由
を説明して下さい。
全ては、その後でしょう。

尚、質問中のTは、集合の合併について閉じていませんから、
開集合族にはなれません。
従って、(R,T)は位相空間ではありません。
どうすれば、この綻びを直せるか分かりますか？

又、質問の本題と思われる
＞最後の(4)　Cl(P)はＲではなく、やはりＭなのでしょうか？
についてですが、
Cl(P)は集合ですから、集合Rと一致したりしなかったり
は考えられますが、位相空間Mと比べても意味がありません。
Rの部分集合であるCl(P)に、Mからの相対位相を入れた位相空間
とM自身を位相空間どうしで比べるなら、意味がありますが。

参考URL：

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q1010936340