等差数列の共通項

質問

等差数列{An}と{Bn}があります。この2つの等差数列の共通項を並べてできる新しい数列の一般項を求める問題です。

{An},{Bn},それぞれ一般項が, An=8n-2, Bn=6n+2 です。
また,それぞれの項を少し書き出すと, {An}:6,14,… {Bn}:8,14,…
と,共通項の最小値が14であることが分かります。
ここで,{An}の第p項と{Bn}の第q項が等しいとすると, Ap=Bq であるので, 8p-2=6q+2 となります。
よって, 4p=3q+2 となり,変形して, 4(p-2)=3(q-2) と表されます。

ここまではよいのですが,次のkの置き方について,問題集の回答を見たのですが,いまいちよく分かりません。以下はその解答です。
「4と3は互いに素であるので,kを自然数として,
　p-2=3(k-1), q-2=4(k-1)」
何故ここで(k-1)なのでしょうか？kではいけない理由は何でしょうか？
どなたか分かる方,教えてください。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

p,qは2以上で最小値がともに2ですから、
p=q=2のときk=1となるようにしないと
k=1,2,…の自然数とならなくなります。
(k-1)とすることで
p=q=2で新しい数列{Ck|k=1,2,…}={14,…}の初項がk=1から始まります。
＞何故ここで(k-1)なのでしょうか？kではいけない理由は何でしょうか？

p-2=3k, q-2=4k
とおくと
p=q=2で　k=0
となり、14が新しい数列のゼロ項目になってしまいます。

お礼

なるほど、「kが自然数」ということをも満たすにも、(k-1)でなければならないのですね。
とても参考になりました。ありがとうございます！

回答No.3

chomsky123

Ap=8p-2,,, Bq=6q+2
文字は（最初から）p,qと区別した方が判り良い。
8p-2=6q+2
8p=6q+4
4 p = 3 q+2,,,p=2,q=2
4*2 =3*2+2
辺々を引いて、
4(p-2)=3(q-2)　

>>ここまではよいのですが.

(1) p-2=(3/4)(q-2)
　　　p-2が整数となるためには、(q-2)は４の倍数、
　　　*(q-2)=4k,,,此れを(1)に代入して
　　　　　p-2=(3/4)4k
　　　*p-2=3k
:::::::::::::::::::::

q=(4k+2),,,p=(3k+2)

8p-2,,,6q+2に代入して、
8p-2=8(3k+2)-2=24k+16-2=24k+14
6q+2=6(4k+2)+2=24k+12+2=24k+14 と同一となる。
　更に追加して、次の様に書けばOK。
　　初項は１４なので、ナンバーを一つ（ずらして）、
２４（ｋ－１）＋１４＝２４ｋ－２４＋１４＝２４ｋ－１０　（解）

：：：：：：
考えるのが面倒なので、
ｋ　と置いて、最後に調節します。
（ｋで良い場合も、あります。）

問題集などは、最初から（解）がわかっているので、ｋ－１　と置いてあります。

＊こういう痒い所に手の届く様に記述するのは、問題集などでは困難です。

お礼

解き始めから答まで、丁寧に記載してあり、大変参考になりました。
この問題は青チャートにある問題なのですが、チャートの解答はたまに飛ばしてある箇所があるので、そこで苦労します。
ありがとうございます！

回答No.2

abyss-sym

こんなやりかたでも。

Ａｎは６ずつ増えていく数列。
Ｂｎは８ずつ増えていく数列。
したがって、共通項をとってできる数列は、最小公倍数の２４が公差になる等差数列になります。
最初にＡｎとＢｎが同じ値になるのは、Ａｎ、Ｂｎが１４のときなので、共通項をとってできる数列は初項１４、公差２４の等差数列になります。

参考URL：

Ａｎ

お礼

確かに…もっと簡潔かつ短時間で解けるやり方ですね！
参考になりました。ありがとうございます！