- ベストアンサー
数列の共通項を利用した数列作成問題の解法
- 数列｛an｝と｛bn｝に共通して現れる数を小さい順に並べて新しい数列｛cn｝を作る際、初項と公差を求める問題について質問しています。
- 解答では、数列｛an｝と｛bn｝それぞれを変形して等式を立て、公式化することによって解を求めています。
- 質問者が立てた等式において、nを2kとおくことが間違いであり、正しくはm≧2、 n≧2となります。質問者の解答に誤りがあるため、解答との比較が困難です。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1です。 ＞2と3は互いに素だからn=2k ＞代入して2(2m-1)=3*2k ＞⇔m=(3k+1)/2 ＞mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…) ＞よってn=2k=4t-2 ＞cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-1 そうですね。 もう少し丁寧に言葉は補った方がよいですね。 逆にくどくなるかもしれませんが、記述式であれば以下のような感じで。 --------------------------------------------------- 数列 {a(n)}の第 m項と、数列 {b(n)}の第 n項が等しくなるとすると、 8m- 4＝ 6n+ 2 2(2m- 1)＝ 3n ・・・(1式) 2と 3は互いに素だから、nは 2の倍数となり、 n＝ 2k（k＝ 1, 2, 3, ・・・）と表される。 (1式)に代入して、2(2m-1)＝ 3* 2kより m＝ (3k+1)/2 mは自然数であるから、kは奇数でなければならない。 これより、k＝ 2t- 1（t＝ 1, 2, 3, ・・・）と表される。 (1式)を満たす nは n＝ 2(2t- 1)（t＝ 1, 2, 3, ・・・）と表され、 数列 {c(n)}の一般項は c(t)＝ b(2(2t-1))＝ 6*2(2t-1)+ 2＝ 24t- 10 と表される。 よって、数列 {c(n)}の初項は 14、公差は 24となる。
その他の回答 (1)
- naniwacchi
- ベストアンサー率47% (942/1970)
こんにちわ。 少しツメが甘かったところが原因だと思います。 ＞これより2と3は互いに素だからn=2k はいいのですが、mについてはどうなりますか？ n＝ 2kを代入すると、m＝ (3k+1)/2となります。 n＝ 2kだけであれば、k＝ 1, 2, 3,・・・という数を考えますが、 mの式をみれば kは奇数のときでなければならないことがわかります。 この部分が抜けているために、余計な項が含まれる結果となっています。 「解答」ですが、ベタにいくつか項を書きだすと「14」が最初の共通項であることがわかります。 ですので、その14をキーに変形しているということだと思います。 14が見つかれば、あとは 8と 6の最小公倍数を考えればいいだけですが。
補足
ご回答ありがとうございます。 自分の解答を訂正する場合、 2と3は互いに素だからn=2k 代入して2(2m-1)=3*2k ⇔m=(3k+1)/2 mは自然数だからk=2t-1(t=1,2,3…) よってn=2k=4t-2 cn=b(4t-2)=6(4t-2)+2=24t-10 でよろしいのでしょうか。随分バタバタした解答になってしまいました。
お礼
ありがとうございました。 おかげで理解できました！