等差数列の共通項

質問

①An=5n+1②Bn=3n-1
①②はどちらも等差数列で、その共通項を出すのですが解答に、
①はk項目、②はl項目に共通するとして、
Ak=5k+1,Bl=3l-1とおくと、
5(k+1)=3(l-1)とおけるんですが、この変換が良く理解できません。

一応、解説で、5k+1=3l-1のとき、共通する1組を、k'とl'とすると、
5k'+1=3l'-1とおける。 よって、5k+1=3l-1と5k'+1=3l'-1の連立方程式から、5k-5k'=3l-3l'が得られる。整理して5(k-k')=3(l-l')となり、
l'=1のとき、k'=-1だから、5(k+1)=3(l-1)となるみたいです。

いまいち理解できないので、解説していただきたいです。
申し訳ないですが、よろしくおねがいします。

回答No.4

noname#101087 · ベストアンサー

#1 は、3q - 5p = 2 という不定方程式を解け、の間違いでした。
たとえば、q = 4, p = 2 が一つの解ですね。
(3q - 5p = 1 の一解を求め、2 倍するのがふつうですが…)

一般解が、
　q = 4 + 5k, p = 2 + 3k　　：k は任意の整数
であることは、(3q - 5p) に代入すればわかる。

共通項(値)は、
　Ap = 5(2 + 3k) + 1 = 11 + 15k
　Bq = 3(4 + 5k) - 1 = 11 + 15k
となり、当然ながら両者は一致。{11. 26, 41. 56, ...... }

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確かに、
　5(p+1) = 11 + 15k
　3(q-1) = 11 + 15k
です。

お礼

大変丁寧にありがとうございました。
不定方程式初めて言葉を聞きました。
しっかりと、この先取り組みたいと思います。

回答No.3

Tacosan

「何をしたいのか」というと, いみじくも自身で書かれているように「k+1、l+1が、それぞれ3の倍数、5の倍数」といいたいのです.
3 と 5 が互いに素であるところがポイント.

お礼

なるほど。ありがとうございました。
なぜか、連立方程式を持ち出されたので、混乱してました。
本当にありがとうございます。

回答No.2

nag0720

たぶん問題か解答のどちらかが間違っているのでしょう。

問題が正しいとしたら、
5(k+1)=3(l-1)　ではなくて、　5(k+1)=3(l+1)　ですね。

補足

その通りでした。
でも、どうして5(k+1)=3(l+1)の形になるかがわかりません。
全く説明できないですが、5k+1=3l-1を-1を移行、5k+2=3l になり、左辺を5でくくると、3多いので右辺に移行してくくると、5(k+1)=3(l+1)の完成。理解できません。つまり、何をしたいのでしょうか？確かに、k+1、l+1が、それぞれ3の倍数、5の倍数ってのはわかりやすいですが…

回答No.1

noname#101087

「共通項」とは、Ap = Bq が成立つときの値でしょうね。
つまり、5p - 3q = 2 という不定方程式を解け、ということなのでしょう。