数検１級の問題です。

質問

1.x^8+4x^7+10x^6+16x^5+19x^4+16x^3+10x^2+4x+1を整数係数の範囲で因数分解しなさい。

2.(1+x)^nの展開式をc[0]+c[1]x+…+c[n]x^nとするとき、
Σ[k=0→n]{(-1)^k}{c[k]/(k+1)}を求めなさい。

3.数列{a_n}(n=1,2,…)をa_n=Σ[k=1→n]log{1+k/(n^2)}で定めるとき、lim[n→∞]a_nを求めなさい。ただし,対数logの底はeとする。

１番はどうのように手を付けていいのか全く分かりませんが、他の問題は大方アプローチの仕方が分かるのですが解答まで辿りつけません。

どなたかご教授お願いします。

回答No.4

Suue · ベストアンサー

No.2の者です。

２番ですが、c[n]が二項係数であることはおわかりでしょうか。
ｃ[ｋ]　＝　Ｃ[ｎ、ｋ]　
　　　　＝　ｎ！／{　ｋ！（ｎ－ｋ）！　}
です。　
ｋ！×（ｋ＋１）　＝　（ｋ＋１）！
（ｎ－ｋ）！　＝　{（ｎ＋１）－（ｋ＋１）}！
です。ここから先はご自分でお考え下さい。

３番ですが、ｌｏｇ（１＋ｘ）の、０＜ｘ＜１におけるマクローリン展開が交代級数（正の項と負の項が交互に表れる級数）であることを利用します。その性質を使えば、

ｘ－（ｘ＾２）／２　＜　ｌｏｇ（１＋ｘ）　＜　ｘ
（ｘは、０＜ｘ＜１となるすべての実数ｘ）
となります。これ以上のヒントは出せません。

お礼

再度レスありがとうございます。
分からなかった残り２問ですが、漸くできました！

２番は、nC_k+nC_k+1=n+1C_k+1の関係を用いて、余分な項を与えられた展開式を利用し消去すると、正答に辿り着きました。

３番は、はさみうちの定理を用いたらすぐにできました。
さっきの此方の解答手順でも多少厳密性が欠けるかもしれませんが、一応答えはでますよね。

※Σ[k=1→n]k/(n^2)=(1/2)n(n+1)/(n^2)→1/2(n→∞)

ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

>a[n]=c[k]/(k+1)=(2^k)/(k+1)とし、a[n]の漸化式を立てて解いたのですが
繰り返しますが、あなたの「解法」を提示しないとアドバイスのしようがありません。

模範解答だけ聞いても試験には受からんよ。

>x≪1のとき、log(1+x)≒x
>というのを用い、
>lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)
>となりますが
議論が飛びすぎです。キチンと収束性を評価して下さい。

>『(答え)1/2』にはならず、0になるような気がするんです。
Σk は n^2/2 のオーダだから、直感的には答えは 1/2 でしょう。

お礼

再度レスありがとうございます。

問３の問題は確かに直感的に分かりました。

ありがとうございました。

回答No.2

Suue

前回の４月検定の１次試験の問題ですね。私も受けました。ということは明日、受けるのでしょうか。

１の問題ですが、係数が左右対称になっていますので、
ｔ　＝　ｘ　＋　１／ｘ
と置けば、ｔの４次多項式として因数分解できます。

２は、二項係数の定義を使って、c[k]/(k+1)を少し違う形に変形したあげればわかると思います。

３は、ｌｏｇｘのマクローリン展開を使い、ハサミウチの原理を用いて、求めるべき和を上下から評価します。ｋ＜ｎなのでｋの値に関わらず、　
０　＜　ｋ／（ｎ＾２）　＜　１
となっているのがポイントです。

お礼

回答ありがとうございました。
仰る通り明日、リベンジ受験しようと思ってます。
前回、3.5点だったので、今回こそは受かりたいです。

１番の問いは、お陰さまで解決することができました。

２番については、
a[n]=c[k]/(k+1)=(2^k)/(k+1)とし、a[n]の漸化式を立てて解いたのですが、『(答え)1/(n+1)』にはなりませんでした。
申し訳ありませんが、もう少しヒントを頂けると幸いです。

３番については、log(1+x)をx=0でテイラー展開し、

x≪1のとき、log(1+x)≒x

というのを用い、

lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)

となりますが、『(答え)1/2』にはならず、0になるような気がするんです。こちらもアドバイスいただければ嬉しいです。

補足

訂正です。

＞lim[n→∞]a_n=Σ[k=1→n]k/(n^2)

ではなく、

lim[n→∞]a_n=lim[n→∞]Σ[k=1→n]k/(n^2)

でした。

回答No.1

koko_u_

>１番はどうのように手を付けていいのか全く分かりません
係数が左右で対称になってますね。

>他の問題は大方アプローチの仕方が分かるのですが
それを補足欄にどうぞ。

お礼

回答ありがとうございました。

現時点で分かっていることを上記に記載しておきましたので、もしよろしければ、ヒントあるいはアドバイスをいただければ幸いです。