ε-δ論法

質問

lim(x→a)X^3＝a^3を示したいとき
ε-δ論法で、
任意のε>0に対して、0<|xーa|<δのとき
|X^3ーa^3|=|Xーa||X^2＋aX＋a^2|
=
ここからεよりも小さくなる式の変形がわかりません＞＜
アドバイスお願いします＞＜

回答No.5

aquarius_hiro · ベストアンサー

二番目の者です。

極限を証明するには、任意に与えられたεに対して、条件を満たすようなδが存在することを示せばよいのです。

私の証明は、εに対して、条件を満たすδの具体的な例を一つ示したものです。

具体的な例があるということは、存在することを示したことになりますね。

回答No.4

koko_u_

>ここまで変形しました。
>この先が・・・・
方針もなく変形しても無駄です。

補足

εよりも小さくなるように、δを取ることを考えました＞＜
無理やり、δ＝ε/1＋3|a|＋3|a^2|
とやるとうまくいきそうですが勝手に建てて良いのか
わかりません＞＜

回答No.3

koko_u_

>割ってみました。3a^2が邪魔ですね～
a は定数だから別に邪魔じゃないよ。

補足

計算してみると
|X-a^3| = |X-a||x^2 + ax + a^2|
= |X-a||(x-a)^2 + 3a(x-a) + 3a^2|
< |(x-a)^2 + 3a(x-a) + 3a^2|
< |(x-a)^2| + 3|a||x-a| + 3 |a^2|
< 1 + 3|a| + 3|a^2|
　ここまで変形しました。
この先が・・・・
すいません＞＜

回答No.2

aquarius_hiro

いろいろ示し方はあると思うのですが…

任意にεが与えられたときに、
|x-a| < δを満たすすべてのxについて|x^3-a^3|<ε となるような δが存在すること
を示せばよいので、
δ<1 と仮定してもよいですね。
（その範囲でもδが存在すれば十分。）

従って、|x-a|<δ<1

故に、|x^2 + ax + a^2| = |(x-a)^2 + 3a(x-a) + 3a^2|
< |(x-a)^2| + 3|a||x-a| + 3 |a^2|
< 1 + 3|a| + 3|a^2|
故に、|x^3-a^3| < δ × [1 + 3|a| + 3|a^2|]
ここで、δ = ε/(2[1+3|a|+3a^2]) ととれば、
|x^3-a^3| < ε/2 < ε を満たすので、
δは存在している。

故に、lim_(x->a) x^3 = a^3

（証明終わり）

要するに x^2 + ax + a^2 が x→a で発散していないことさえ示せれば、x^3 - a^3 が δの1次のオーダーであることには影響がないということです。

補足

ここで、δ = ε/(2[1+3|a|+3a^2]) ととれば、
|x^3-a^3| < ε/2 < ε を満たすので、
δは存在している。
---------------------------------
という内容が理解できません＞＜

回答No.1

koko_u_

ε-δ論法を勉強しているということは大学生なのでしょう。

|X^3ーa^3|=|Xーa||X^2＋aX＋a^2|

の先がわからないとは重傷です。でもヒントらしきものを。。

X^2 + aX + a^2 を X - a で割りなさい。

補足

有難うございます。
|X^3ーa^3|=|Xーa||X^2＋aX＋a^2|
　　　　　=|Xーa||(X＋2a)(xーa)＋3a^2|
割ってみました。3a^2が邪魔ですね～＞＜