2次方程式の変形について解説をお願いします。

質問

式 a^2=x^2-2ax を x について解くと・・・

a^2=x^2-2ax
↓
x^2-2ax-a^2 = 0
↓
x = a + √2・a

と変形できるようなのですが、自分で考えた式の変形は下のようになりました。

x^2-2ax-a^2 = 0
↓
x^2 = 2ax + a^2
↓
x = √2ax + a

2axの変形部分がどのように√2・aに変形されるかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.2

Tiffa9900 · ベストアンサー

まずあなたの変換についてですが、
　x^2 = 2ax + a^2
⇔ x = √(2ax) + a
は誤っていますよ。

　x^2 = 2ax + a^2
ここで両辺√を取った(つけた？っていうのかな？)のだと思いますが、その場合
　x^2 = 2ax + a^2
⇔ √(x^2) = √(2ax + a^2)
となります、式全体を√としなければなりません。
これじゃ計算できませんよね。

また、あなたが考えた変換後の式から逆について考えてみてください。
　x = √(2ax) + a
これを両辺2乗すると
⇔ x^2 = (√(2ax) + a)^2
⇔ x^2 = 2ax + 2a√(2ax) + a^2
となりますよね。
　x^2 = 2ax + a^2
とは微妙に違っています。

これを踏まえて、前に戻ります。
aが数値であればイメージしやすいと思いますけど、同じ事です。
xについて解く場合、まず片側にxを寄せます。
　 a^2 = x^2 - 2ax
⇔ x^2 - 2ax - a^2 = 0
ここからはどうにやったのかな？とは思うのですが、
恐らく解の公式かな
　x = (2a ± √(4a^2 + 4a^2)) / 2
⇔ x = (2a ± √(8a^2)) / 2
⇔ x = (2a ± 2a√2) / 2
⇔ x = a ± a√2

∴ x = a + a√2 , a - a√2
の2つが解になると思います。この前者が上で言われている解(x = a + √2・a)と一致します。
後者が明記されていないのは、「x > 0」など他にもなにか条件があるのかもしれませんが、この質問からはわからないかな。

お礼

ご解答ありがとうございます。

解の公式に当てはめた後の内容までご丁寧にありがとうございました。
大変よく分かりました。

回答No.3

jo-zen

a^2=x^2-2ax の左辺にはｘが含まれず、右辺はｘの２次式ですから、２次方程式の解の公式を使わずのこの方程式を解くのであれば、

　a^2=x^2-2ax =(x-a)^2-a^2

と変形できますから、最後のa^2を移項して、

　2a^2=(x-a)^2

となりますので、X^2=Y^2 ならば、Y=±X の関係を使えば、

　x-a=±a√2 つまり　ｘ=a±a√2=(1±√2)a

となるのです。あなたの計算では、

　　X^2=Y^2+Z^2 ⇒　X=Y+Z

のように思われていますが、両辺を２乗すれば、

　　X^2=(Y+Z)^2=Y^2+Z^2+2YZ

ですから、元の式に一致しないのはわかるかと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。

よく考えてみます。

回答No.1

SaySei

＞x^2 = 2ax + a^2
＞↓
＞x = √2ax + a
この式変形は間違っていますよ。この場合、
x = √（2ax + a^2）
になります。
まあ、そもそも、
＞x^2 = 2ax + a^2
と式変形した時点で、右辺にxが残っているのでxについて解きようがないわけですが。

ここで思い出してほしいのは、「解の公式」です。
覚えていない？思い出せない？そんな時は、下のリンクを参考に。
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/math/2eq05.htm

x^2-2ax-a^2 = 0
を解の公式に当てはめると、
＞x = a + √2・a
という結果が出てくるのではないかと思います。

お礼

ご解答ありがとうございます。

よく考えて見ます。