イプシロンデルタ論法

質問

イプシロンデルタで収束を示す時に最後の等式がわからないので教えてください。

lim(n→∞) a_n=α ならば、lim(n→∞) (a_1a_2…a_n)^(1/n)=α （積のn乗根）を示せ。

解）ε’＝ε/(1+2α)、|ε'|<α とおく。
（中略）
(α-ε')(1-ε')<(a_1a_2…a_n)^(1/n)<(α+ε')(1+ε')

よって、|(a_1a_2…a_n)^(1/n)-α|<ε

解の2行目までは理解しましたが、最後の変形がわかりません。
どうしてこのような変形ができるのか教えていただけないでしょうか。

回答No.3

uyama33

(α+ε')(1+ε')
＝α+αε'+ε'+ε'*ε'
=α+αε'+ε'+ε'*ε'+αε'-αε'
=α+ε'(1+2α)+ε'(ε'-α)
=α+ε+ε'(ε'-α)
<α+ε

ε'(ε'-α)
の部分は、|ε'|<α　から負になる。

回答No.2

uyama33

(α+ε')(1+ε')
を展開する。
その大きさを
ε’＝ε/(1+2α)、|ε'|<α
を使って評価する。（ε'　を消す）
α+ε　と　どちらが大きいかを調べる。
途中での符号に注意する。

補足

その評価の計算がうまくできないので、教えていただけませんか？

回答No.1

Tacosan

「最後の変形」ってのは, どれのこと?