ε-δ論法の例題について

質問

ε-δ論法を用いる簡単な例題で

ｌｉｍ 1/x = 1/a になることを証明せよ。
x→a
というもので、解説は↓
―――――――――――――――――――――――――――――
｜x - a｜＜｜a｜/ 2 ならば ｜x｜＞｜a｜/ 2 だから、このとき　(1)

｜1/x - 1/a｜ ＝ |x - a| / (|x|-|a|)　　　　　　　　　　　　　　(2)

≦ 2|x - a| / |a|^2　　　　　　　　　　　　　　　 (3)

2|x - a| / |a|^2 ＜ ε とおくと |x - a|＜ (|a|^2)ε / 2 。　　　(4)

したがって　δ　＝　(|a|^2)ε / 2 　∧　｜a｜/ 2　とおくと (5)

0 ＜|x - a|＜ δ のとき、　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(6)

|x - a|＜｜a｜/ 2 かつ、|x - a|＜(|a|^2)ε / 2 だから、　　　　　(7)

｜1/x - 1/a｜＜ ε , ε ＞ 0 は任意だから、　　　　　　　　　　　 (8)

ｌｉｍ 1/x = 1/a (9)
x→a

である。

*「 a ∧ b 」＝　「実数ａと実数ｂの小さい方」

―――――――――――――――――――――――――――――
とかいてあるのですが、

(1)の『｜x - a｜＜｜a｜/ 2 ならば ｜x｜＞｜a｜/ 2 だから・・・』
とする意味がよくわかりません・・・。
どうしても
『じゃあ｜x - a｜＞｜a｜/ 2 のときはどうすんだ？』
って思ってしまいます；；

それと(5)の『δ　＝　(|a|^2)ε / 2 　∧　｜a｜/ 2　とおくと』
とする意味もよくわかりません；；

たぶん私の解釈がおかしくて、質問が変なものになっているかもしれませんが、わかりやすく解説してくれる方、いたら本当によろしくおねがいします＞＜
ちなみにε-δ論法についてはどういう風に示せば証明したことになるか、という事はだいたいわかります。
でもこの問題については全体的によくいまいちわからなくて・・・

回答No.5

jmh · ベストアンサー

普通…、
　「任意のε＞０に対してＰ」は、「ε＞０を仮定すると、Ｐ」を証明します。
　「次のようなδ＞０が存在する：Ｑ」は、「あるδに対して、Ｑ」を証明します。
このことを踏まえて、証明をよく読むと、
１．ε＞０を仮定する。＊
　　２．具体的なδを構成する。
　　　　３．ｘは｜ｘ－ａ｜＜δを仮定する。
　　　　　　４．｜１／ｘ－１／ａ｜＜εを証明する。
　　　　５．「ｘは任意（ただし｜ｘ－ａ｜＜δ）だった」
　　　　　　ことを理由に、「任意のｘ（ただし｜ｘ－ａ｜＜δ）に対して、
　　　　　　｜１／ｘ－１／ａ｜＜ε」の証明終わり。＊
　　６．事実δは、あったのだから「次のようなδ＞０が存在する：
　　　　任意のｘ（｜ｘ－ａ｜＜δ）に対して、…」の証明終わり。＊
７．「εは任意だった」と言いつつ、「任意のε＞０に対して…」の
　　証明終わり。
となってます（＊は、行間を読んでください）。
機械的ですね。
…と私は、理解しています。

お礼

何回も回答ありがとうございました！
おれいはこれに代表させていただきます＾＾
とてもわかりやすかったです！
ただ、εδがテスト範囲外になってしまってちょっと残念（すこしほっとしてます）（笑）

回答No.4

jmh

> 「∧　｜a｜/ 2」
> がなんで必要なのかがわからないです；；
>
ａ＝１、ε＝１０のときを考えてください。
εは任意＞０ですよ。

回答No.3

jmh

> でもこの問題については全体的によくいまいちわからなくて・・・
>
この証明は全体としては、次の主張を証明しています：
　(∀ε＞０)(∀ｘ：｜ｘ－ａ｜＜(((｜ａ｜＾２)ε／２)∧(｜ａ｜／２)))
　　(｜１／ｘ－１／ａ｜＜ε)
これを証明することによって、より弱い主張：
　(∀ε＞０)(∃δ＞０)(∀ｘ：｜ｘ－ａ｜＜δ)(｜１／ｘ－１／ａ｜＜ε)
は証明できましたと言っています。

回答No.2

kusokuzeshiki

(5)でδを天下り的というか突然決めていますが、（１）から（４）はその導入でしょう。極端な話、（５）と違う式でδを表現し、すべての正数εに対して（８）の式が言えてもいいと思います。その場合（１）から（４）も変わるでしょうし、本によっては「明らかに」と流すのでしょうね。この論法の難しいところは、論法そのものよりもδのとり方でしょうね。

お礼

ありがとうございます！
おっしゃるとおり、δの取り方がなかなかわからないんですよね（笑）

回答No.1

uyama33

(1)の『｜x - a｜＜｜a｜/ 2 ならば ｜x｜＞｜a｜/ 2 だから・・・』
とする意味がよくわかりません・・・。
どうしても
『じゃあ｜x - a｜＞｜a｜/ 2 のときはどうすんだ？』
って思ってしまいます；；

これは、
　x　が　a　に近いときだけ考えればいいのだから、
遠くの場合は気にしない。
ということです。

それと(5)の『δ　＝　(|a|^2)ε / 2 　∧　｜a｜/ 2　とおくと』
とする意味もよくわかりません；；

これは、一様連続ではないから

ということですが、
簡単に言うと、
デルタは、与えられた a の値とイプシロンから自分で決定するのです。
ここでは、その具体的な決め方が書いてあるのです。

がんばてね。

補足

早い返答ありがとうございました＾＾
なんとかわかったんですが、
『δ　＝　(|a|^2)ε / 2 　∧　｜a｜/ 2　とおくと』
の

「∧　｜a｜/ 2」
がなんで必要なのかがわからないです；；