ε－N論法を用いた証明教えてください

質問

lim(n→∞)an=αが成り立つならばlim(n→∞)√an＝√αであることをε－N論法を用いて示しなさい。
というのがどうしてもわかりません…。ε―N論法はわかるのですが・・・（問題わかりにくくてすいません）
どなたか教えてください！！

回答No.5

tinantum · ベストアンサー

lim(n→∞)an
をε-N論法で書くと
『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |an - α|<ε　を満たす 』…(1)
です。これを利用して
lim(n→∞)√an＝√α
を示すには、やはり
『任意のε>0に対し、ある自然数n0が存在し、n≧n0を満たす任意の自然数は |√an - √α|<ε　を満たす 』
ことを(1)の事実を使って言う必要があります。
ε-N論法はある意味、永遠に続く対話です。
εは収束の精度みたいなもので、質問者が「ε=0.1」の場合はどうだ？と聞くと「それに対してはn0(0.1)が存在して、…」という。質問者が「では、ε=0.01」ではどうだ？」と聞くと、それに対し「ある番号n0(0.01)が存在して…」、といった具合に（どんな小さな）εを与えられても、それに対応してあるn0の存在を示し、それ以上の番号では言われた精度以内に収束することを保障するのがε-N論法ですね。

なので、ポイントは、任意のεを与えられたときに、それに応じて自動的に適切なn0（n0はεに依存するので、n0(ε)のように依存性を明示することもあります）を答えれるようにすることです。例えば簡単な問題では、
「ε>0に大して、n0=1/εに一番近い自然数を言うとよい」とか。
この問題は、(1)を満たすようなn0は既に存在しているので、これを利用します。そのために、
√an - √α = (an - α) / (√an + √α)
のような変形をすることで、(1)の不等式にある(an - α)を無理矢理出したわけです。

実際証明してみます。

[1] α≠0のとき、

任意のε>0を固定する。… (2)
すると、
|√an - √α|
= |(an - α) / (√an + √α)|
= |(an - α)| / |(√an + √α)|
≦|(an - α)| / √α　(∵ |(√an + √α)|= (√an + √α) ≧ √α　…(３)
と変形できることに注意します。(1)は任意のεを用いてよかったので、（2）で固定したεを用いて、(1)のεとしてε √αを用いてもよいわけで、それに対しn0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては
|(an - α)| < ε √α
を満たすとしてよいです。
よって、(3)も、このn0(ε √α)を用いると、n≧n0(ε √α)に対しては
|√an - √α| ≦|(an - α)| / √α < ε
となります。
まとめると、始めに（どんなに小さくてもよい）任意のε>0を固定すると、（(1)を利用してつくった） n0(ε √α)が存在して、n≧n0(ε √α)に対しては
|√an - √α| < ε
すなわち、lim(n→∞)√an＝√αがε-N論法で証明できたことになります。

α=0のときは、練習としてもう一度挑戦してみてください。

お礼

わかりました！！
α＝０の場合も同じようにεを一回固定してやってみたらできました！

ありがとうございます。月曜日が試験でもう先生に聞きに行くこともできないし、友達と相談することもできないし困っていたんです。本当に助かりました。ありがとうございます♪

回答No.4

koko_u_

>あとα＝０の場合どうすればいいのかも…
この場合は超カンタンなので、ウォーミングアップとしてどうぞ。

お礼

α＝０の場合のほうが簡単ですね！！やっとできました♪
ありがとうございます。

回答No.3

tinantum

余計なお世話かもしれませんが、
ε-N論法の仕組みをわかっていても、ここの問題での使い方がわかるわけではないので、ご安心を。
問題を多く解くとだんだんと使い方の傾向が見えてきます。

お礼

その通りなんです。大学の微積の講義でε－N論法をやったのですが、定義の説明だけで練習問題やそれを用いた証明の例など一切やってないんで、ε―N論法をどう使えばいいか分からないんです・・・。
大学の図書館でも参考書を探したんですけど、an与えられていてαも与えられていてそうなることをε―N論法を用いて証明しなさいというのはわかったのですが、この問題がどう使えばいいのかが全然わからないんです…。

回答No.2

Tacosan

基本戦略は √an - √α = (an - α) / (√an + √α) と有理化すること. ただし, α = 0 のときはこの戦略が使えないので別途考える.

お礼

有理化すると式変形がちょっと進みますね！！でもどういう風に証明をもっていけばいいのかがいまいちわからないです。あとα＝０の場合どうすればいいのかも…

ヒントありがとうございます！！

回答No.1

koko_u_

>ε―N論法はわかるのですが・・・
それはワカットランということだよ。

お礼

ε－N論法がどんなものかは勉強したけど使い方がまだわからないということです…
書き方不十分ですいません・・・