エネルギー固有値

質問

井戸型ポテンシャルのエネルギー固有値についてです。あるサイトから、固有値は

E = n*2 π*2 h*2 / 2 m l*2　

で求まるとありました。幅を４、深さを４として固有値がどのくらいかを求めたい場合、上記の式のπ,h,m,lにはどのような値を代入すれば良いのでしょうか？
nについては、n=1の時基底状態、n=2の時に第一励起状態・・・を表す事だと理解しています。

回答No.1

2718281828 · ベストアンサー

先に回答から。

π=3.1416（円周率）
h=6.6262×10^(-34)[Js]（プランク定数）
m=9.1096×10^(-31)[kg]（電子の静止質量）

lがポテンシャル井戸の幅（[m]）になります。幅4が4[m]ということなら、4。4[nm]ということなら、4×10^(-9)になります。

ところで、かなり勘違いなされているようなので、指摘しておきます。

・n*2 は「nの二乗」のつもりでしょうけれど、n^2（またはn**2）と表記しないと誤解を招きます。

・ご質問の式の h は、h ではなく、hバー（ h に横線が入ったもの）です。私の回答した値は h の値です。実際の計算には hバー = h/(2π) = 1.0546×10^(-34)[Js] をお使い下さい。

・今考えている「井戸」とは、ポテンシャル井戸です。つまり、井戸の深さはポテンシャルの深さです。井戸の外のポテンシャルと井戸の中のポテンシャルの差が井戸の深さです。ご質問の式は、無限に深いポテンシャル井戸の場合ですので、深さは無限大です。有限深さの場合は、また別の式になります。

補足

回答有難う御座いました。色々とご指摘してもらい、大変有難いです。上記の式では、幅は自由に決められますが、深さは無限大でなくてはならないと言うことですね。ということは、有限の深さの場合はどのような式になるのでしょうか？

回答No.4

2718281828

> 専門家の人が使う手

そんな大袈裟なものじゃないです（笑）

> では、例えばオイラー法や（略）

定量的な話をするのなら、まあその通りと言ってもいいでしょうね。ですが、私が「現実に合わなくなる」と言ったのは全然違う話です。電子のエネルギーが井戸の深さより大きくなると、自由電子近似になりますよ、ということなんです。もちろん、得られた波動函数はちゃんとそれに対応する形になっている筈ですけれどね。

どうも話が噛合わないですね。正直、これまでの私の回答のどれも、あなたに正しく伝わっていないと思います（申し訳ないことですが）。あなたの興味の対象が数値計算であり、量子力学にも物理にも関心がないのなら、微積分の教科書に載っている問題をそのまま使うのはいかがでしょうか。答えも載っていますし、問題も豊富です。何より物理の問題に頭を煩わせることがなくなります。

> 深さが４ｍ程度
↑
これ、根底から間違っていますよ。この限られた場で、あなたに物理を一から教えるのはちょっと無理です。

お礼

回答有難う御座いました。
そうですね。物理に関心が無いわけではないのですが、正直、自分でも全く理解出来ていないようなので、物理に対する考えを改めたいと思います。

回答No.3

2718281828

> 波動関数の接続条件の方程式の両辺のグラフを書いて目の子で交点を求めてだいたいの値を見るということなのですが、どういうことだと思われますか？

物理屋がよく使う手です。現象を把握するには、厳密に数式がどうなるかということよりも、全体の傾向がどうなるか（グラフ化して概観がどうなるか）が重要です。難しい数学を駆使して何ページも計算して結果がこうなりましたというのは、物理の理解とは別の問題だからです。コンピューターが安価で使える今だからこそ、手軽に数値計算をしてグラフ化したり、Maple、Mathematicaと言った数学ソフトを使うことができますけれど。

回答です。今回の問題の場合、深さが無限大なら波動関数ψは井戸の中で正弦波の形を取り、井戸の外ではψ=0 です。深さが有限で十分に大きい場合を考えると、井戸の外でもψ=0 にならず、井戸壁から十分に離れた場所では指数関数的に減少します。井戸の中では、無限深さの正弦関数に少し修正が加わった程度、特に井戸壁の近辺でその影響が表れます。井戸の中と外の関数形が決まったわけですので、ちょうど井戸壁で二つの関数が「連続かつ滑らかに」なるように目の子で繋ぐと完成です。交点や交点での傾きは先に計算できるなら計算しておけば、より正確に繋ぐことができます。―――この近似法は、あくまで無限深さ井戸をベースに考えています。深さが浅くなればこの考え方で得た解は現実に合わなくなってきます。

上で述べた理屈（？）は、決してあてずっぽうでも、結果から後付けしたものでもありません。微分方程式を解く過程で得られた情報や、物理的な制約からくる条件などを整理しただけのものです。文系の人には凄いことに思われたりしますが、実際は全然たいしたじゃないんですけどね。

お礼

なるほど。上記の方法は専門家の人が使う手なんですね。

>この近似法は、あくまで無限深さ井戸をベースに考えています。深さが浅くなればこの考え方で得た解は現実に合わなくなってきます。

ということは、たとえ上記の方法を使用したとしても、深さが４ｍ程度では現実とかなり誤差が生じてしまう可能性があるわけですね。
では、例えばオイラー法や4次Runge-Kutta法などの近似法から数値的に固有値を求めて、それと上記の方法で解析的に求めた解を比較するのは効率的ではないということですか？下手をすれば、数値的に求めた解の方が現実に、より近くなってしまいますよね？

回答No.2

2718281828

> 有限の深さの場合はどのような式になるのでしょうか?

簡単に式で表せるような形にはなりません。以下のサイトをご紹介します。学部講義 「量子力学A」講義ノート2003 5章が参考になるでしょう。

http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/

ところで、ご質問の文章を読んであなたの物理・数学への習熟度を推定しますと、この講義ノートを読んで理解できるレベルに達していないだろうと思われます。ご質問のエネルギー固有値をご自分で計算できるレベルにも達していませんね（あくまで習熟度の話です。自分で解けないものを質問することは、少しも悪いことではなく、当然のことです。）。

物理的な問題であれば、初学者にも分かり易い説明の仕方というものがあります。しかし、ご質問の内容は微分方程式の解法という、どちらかというと技術的な問題です。紹介したサイト以上に具体的に分かり易い説明が必要なら、基礎から学ばれた方が早いかと思います（説教臭くて済みません）。

参考URL：

http://www.phys.aoyama.ac.jp/~w3-furu/

補足

そうでしたか。わざわざ参考サイトまで紹介していただいて有難う御座います。基礎から勉強が必要ということですね。
最後に一つ質問しますね。有限の深さのエネルギー固有値の求め方で、一つ聞いた方法があるのです。それは、波動関数の接続条件の方程式の両辺のグラフを書いて目の子で交点を求めてだいたいの値を見るということなのですが、どういうことだと思われますか？もし理解されたのなら、簡単に教えてもらえると嬉しいです。