フーリエ級数の収束性

質問

こんにちは。
　フーリエ級数を眺めていてふと思ったのですが、基本周波数の自然数倍の周波数をもつ三角関数のみで全ての周期関数に収束するのはなぜですか。自然数倍でないもの、例えば1.5倍などの周波数はなぜ使う必要がないのでしょうか。
　フーリエ級数展開は、直交関数列の各関数に対応する係数を取り出しているだけですよね？関数列に取りこぼしがあれば収束できないものも出てくるのではないでしょうか。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

フーリエ級数展開はフーリエ変換（フーリエ積分）の特別な場合ですので、疑問点がある場合はフーリエ変換（参考URL）の定義式に戻って考えていただけばいいです。全ての周期波はδ関数（δ(f)を周期波の周波数fnだけずらした関数）の和で表されます（δ関数の定義式から明らか）。

＞自然数倍でないもの、例えば1.5倍などの周波数はなぜ使う必要がないのでしょうか。
フーリエ積分の定義式のもどればδ関数の項に入ってくると思います。
sin(2πfot)、cos(2πfot)などはδ(±fo)の項になり、
f=1.5foの項はδ(f±1.5fo)の項としてでてきます。
δ関数の係数がフーリエ級数展開係数になります。

あるいはf=1.5fo(foは基本周波数)が含まれるなら、foを1/2倍した周波数f_0=fo/2がフーリエ級数展開の基本周波数とすれば良いだけです。

周期波形f(t)の波形とフーリエ級数展開した最初のk項和を図示してやれば、基本周波数の自然数倍の周波数成分しか現れないことが確認できるかと思います。

>　フーリエ級数展開は、直交関数列の各関数に対応する係数を取り出しているだけですよね？関数列に取りこぼしがあれば収束できないものも出てくるのではないでしょうか。

取りこぼしは無いですね。
疑問の場合は大元の定義のフーリエ変換に戻って、じっくり考えると納得がいくかと思います。

参考URL：

http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform

お礼

理解する手助けをしていただきありがとうございます。
おかげですっきりしました。

補足

>　フーリエ級数展開はフーリエ変換（フーリエ積分）の特別な場合ですので、疑問点がある場合はフーリエ変換（参考URL）の定義式に戻って考えていただけばいいです。
>　フーリエ積分の定義式のもどればδ関数の項に入ってくると思います。
sin(2πfot)、cos(2πfot)などはδ(±fo)の項になり、
f=1.5foの項はδ(f±1.5fo)の項としてでてきます。

これらに関しては理解しています。結局

>　あるいはf=1.5fo(foは基本周波数)が含まれるなら、foを1/2倍した周波数f_0=fo/2がフーリエ級数展開の基本周波数とすれば良いだけです。

ということが本質ですね？
ではf(t) = sin(√2 fo t)+sin(√3 fo t)などをフーリエ級数展開しようとしたときはどうでしょう・・・ってこれでは周期関数ではないですよね。いまわかりました。ありがとうございます。