部分分数分解

質問

部分分数分解をするコツを教えてください。なにか規則があったと思うのですが忘れてしまいました・・・。

回答No.1

LPLBIF · ベストアンサー

これは私が実際に使っていた方法ですが…

例えば5/(x+2)(x+3)を分解したい場合は、
a/(x+2)+b(x+3)
={a(x+3)+b(x+2)}/(x+2)(x+3)
={(a+b)x+3a+2b)}/(x+2)(x+3)
=5/(x+2)(x+3)
よってa+b=0,3a+2b=5
a=5,b=-5

∴5/(x+2)(x+3)=5/(x+2)-5(x+3)
などのように、係数を比較していました。
これなら覚える必要も無いので楽ですよ。

回答No.4

banakona

分母を因数分解したら２次の因数が出てきた場合

例：１／（２ｘ＋１）（ｘ^2＋ｘ＋１）

Ａ／（２ｘ＋１）＋（Ｂｘ＋Ｃ）／（ｘ^2＋ｘ＋１）

と置きましょう。あとは＃１さんの方法にならって。

回答No.3

kkkk2222

Ｐ=1/(x-1)(x+1)^2　として、

1/(x-1)(x+1)^2=(A/x-1)+(B/x+1)+(C/(x+1)^2))　と置き、

両辺を(x-1)(x+1)^2倍して、
1=A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)

x＝１を代入して、＜Ａ＝１／４＞
x＝－１を代入して、＜Ｃ＝－１／２＞

此処までは良いのですが、Ｂを求めるために展開するのは大変なので、両辺を＜微分＞します。

０＝２A(x+1)＋２Bx＋C
x＝－１を代入して、
０＝－２B＋C
＜Ｂ＝－１／４＞　と計算が短縮出来て、

Ｐ=(1/４)【(１/x-1)-(１/x+1)-(２/(x+1)^2)】
---

次数を上げて、
1/(x-1)(x+1)^3=(A/x-1)+(B/x+1)+（C/(x+1)^2）+（D/(x+1)^3）

1=A(x+1)^3+B(x-1)(x+1)^2+C(x-1)(x+1)+D(x-1)
x＝１を代入して、＜Ａ＝1/8＞
x＝－１を代入して、＜D=－1/2＞

両辺を微分して、
０＝３A(x+1)^２＋B［(x+1)^2＋２(x-1)(x+1)］+２Cx+D
x＝－１を代入して、
０＝－２C+D
＜C=－1/4＞

此処で、x＝１を代入しても良いですが、分数計算を回避するために、
もう一度、両辺を微分して、
０＝６A(x+1)＋B［２(x+1)＋４x］+２C
x＝－１を代入して、
０＝－４B＋２C
＜Ｂ＝－1/8＞

Ｑ=(1/８)【(１/x-1)-(１/x+1)-（２/(x+1)^2）-（４/(x+1)^３）】
と出来る場合があります。

回答No.2

noname#101087

部分分数展開のやり方のオプションです。
(1位の分母の場合だけ。2位以上はもっと工夫がいります)

　　2/s(s+1)(s+2) = A/s+B/(s+1)+C/(s+2)
の両辺に s を掛けてから s=0 とすれば、
　　2/2 =1= A 。

同様に、両辺に (s+1) を掛けてから s=-1 として、
　　2/(-1*1) = -2 = B 。
両辺に (s+2) を掛けて s=-2 として、
　　2/(-2*-1) = 1 = C 。