部分分数分解

質問

部分分数分解に一般解って存在するのですか？またもし存在するのなら教えてください。

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

（１）　ユークリッド互除法をご存じなら、次のように一般化できます。

G(X)とH(X)が共通因子を持たない多項式なら

　　1/(G(X)H(X))=A(X)/G(X)+B(X)/H(X)

となる多項式A(X)とB(X)を見つけることができる。

[計算方法]

ユークリッド互除法により、A(X)H(X)+B(X)G(X)=1となるA(X)とB(X)を求めればよい。

（２）　次に、多項式F(X)が

　　F(X)=(X-w1)^r1×(X-w2)^ r2×・・・×(X-wk)^ rk

と因数分解されていたとします。w1、・・・、wkは、F(X)=0の互いに異なる根で、それぞれ、r1重根、・・・、rk重根です。

（１）を繰り返し使って、

　　1/F(X)=A1(X)/ (X-w1)^r1 + ・・・+ Ak(X)/ (X-wk)^rk

と部分分数分解ができます。ここで、各Ai(X)は、ri-1次以下の多項式です。

（３）　さらに、各Ai(X)/ (X-wi)^riは、次のように部分分数分解できます。

　　Ai(X)/ (X-wi)^ri=α1/(X-wi) + α2/(X-wi)^2 + ・・・ + αri/(X-wi)^ri

α1、・・・、αriは、定数です。これらの定数は、

　　X → Y+wi

と変数変換してみれば、すぐ計算できます。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

muturajcp

a≠b
(cx-d)/{(x-a)(x-b)}={s/(x-a)}+{t/(x-b)}
のとき
{s/(x-a)}+{t/(x-b)}={(s+t)x-sb-ta}/{(x-a)(x-b)}=(cx-d)/{(x-a)(x-b)}
だから
s+t=c
sb+ta=d
↓
s=(d-ac)/(b-a)
t=(d-bc)/(a-b)