部分分数に分解することについて

質問

有理数を部分分数に分解することは１次不定方程式に帰着し、その分解は一意的に決定しますが、部分分数分解は何かの役に立つのでしょうか？部分分数に分解することには、何か数学的な意味があるのでしょうか？部分分数分解の応用面や発展性についてご存じの方は教えてください。
（有理式を部分分数に分解することは有理式の積分に応用されますね。これと同じことが、有理数の部分分数分解にもあるかどうかということです。）

回答No.4

arrysthmia

私は、そのスジの人ではないので、
数学を「研究」したことが無いのは無論のこと、
教わったことも余りありません。
独学で遊んでいるだけです。

ですから、数学を理解していると自称したり、
「どの程度数学を理解しているか知りませんが」
と他人を評したりできるようなレベルでは
全くありません。
高木「初等整数論」なら、高校の時に読みましたが
記憶のかなたですね…

そのような私には、
「何か数学的な意味があるのでしょうか？」
の答えを他人に問うてしまう人にとっての
数学は、計算術に過ぎないように思えます。
学ぶことも結構ですが、考えるのも大切なこと
ですよ。

補足

質問の仕方が悪かったせいか、私の質問の意図が全く伝わっていないみたいですね。

>学ぶことも結構ですが、考えるのも大切なことですよ。

逆です。これは私からあなたに贈る言葉ですよ。

回答No.3

arrysthmia

歴史的には、古代エジプトの数学には小数が無くて、
分数も分子が１のもの(単位分数)しかなくて、
細かい値を表すには単位分数の和を使っていた事とか…
その流れで、ヨーロッパでも古い時代は
単位分数の和が重要だった事とか…
連分数の起源もその延長上にある事とか…
エルデシュの未解決問題が有名だとか…
関連する話題はイロイロありますが、
何に「数学的な意味」を見出すかは人それぞれなので、
他人に尋ねるようなことではない気がします。

お礼

ありがとうございました。

補足

>何に「数学的な意味」を見出すかは人それぞれなので、他人に尋ねるようなことではない気がします。

そうでしょうか？
arrysthmiaさんが、どの程度数学を理解しているか知りませんが、「数学的な意味」は単なる好みの問題ではありません。少なくとも数学を学び、研究した経験のある人ならばＮｏ３のような書き込みはしないはずです。

回答No.2

egarashi

式じゃなくて数ってことは、1/6=1/2-1/3ってことですか？

お礼

ありがとうございました。

補足

>式じゃなくて数ってことは、1/6=1/2-1/3ってことですか？

そうです。ただし、分解された分数は正です。
分母が合成数の既約分数は分母が素数（のべき）である数個の正の真分数と整数の和に分解できます。たとえば、
1/6=1/2+2/3-1
5/12=3/(2^2)+2/3-1
等々です。この分解は一意的です。簡単な説明は、高木貞治の「初等整数論」等の書籍をご覧になってください。

回答No.1

Tacosan

念の為ですが「有理数の部分分数分解」はどのように定義すればよいのでしょうか?

お礼

ありがとうございました。

補足

「有理数の部分分数分解」の簡単な説明は、高木貞治の「初等整数論」等の書籍をご覧になってください。