部分分数の分解がわかりません

質問

部分分数の分解がわかりません
4(x+2)/(x+1)＾2(x+3)を部分分数に分解せよ
という問題がわかりません．
答えには2/(x+1)＾2+1/(x+1)-1/(x+3)
とありました．
ここで思ったのですが，(x+1)は(x+1)＾2の因数なので不必要な気がします．

なぜ分母を(x+1)＾2,(x+1),(x+3)にしているのですか？
また，部分分数にするとき分母はどのように設定すればいいのですか？

回答No.2

kiiyan · ベストアンサー

部分分数の答えを出すときは、因数の最小公倍数が求めたい分数の分母と同じようにならないといけません

因数がもしもx+1とx+3のみ、とすると
(x+1)(x+3)=(x+1)^2(x+3)　左の次数2　右の次数3
となり、左右が真とならないので求めることができなくなります

そして、marimmo-さんはきっとA/(x+3)(x+1)+B/(x+3)(x+1)+C/(x+1)^2のように考えていると思うのですが、この場合は
(A+B)/(x+3)(x+1)+C/(x+1)^2とまとまってしまい、A+B=Dとおくと
D/(x+3)(x+1)+C(/(x+1)^2となり、今度はDにおいて部分分数分解をすることになります
D/(x+3)(x+1)=E/(x+3)+F/(x+1)と部分分数分解をするので
まとめると
4(x+2)/(x+1)^2(x+3)
=C/(x+1)^2+E/(x+1)+F/(x+3)となり、やはり因数は(x+1)^2,(x+1),(x+3)の三種類がないといけないことになります

次に,(x+1)^2も部分分数分解しなければいけないのか、という話になりますが、次数のみで構成された分母を持つ部分分数分解は答えがでません
2/(x+1)^2=A/(x+1)+B/(x+1)とおくと、(A+B)(x+1)となり、求めたい数の分母である(x+1)^2(次数2)と最小公倍数(x+1)(次数1)があってないのでNGとなります

(x+1)^2(x+3)のような場合は(x+1)^2が存在しないといけない、そして(x+1)^2のような次数のみで構成されている分数は部分分数分解できないと覚えておけばいいかとおもいます

お礼

ありがとうございます．
最小公倍数を満たすように分母を置いてみて，できるだけバラバラにすればいいのですね．
次数のみの場合は残す．というのがポイントのようですね．
これからもよろしくお願いします．

回答No.1

nag0720

(ax+b)/x^2　を部分分数に分解すると、
b/x^2+a/x　となるのは分かりますね。

これと同様に、(ax+b)/(x+c)^2　を部分分数に分解すると、
A/(x+c)^2+B/(x+c)　の形になります。

(ax^2+bx+c)/(x+d)^3　の部分分数分解は、
A/(x+d)^3+B/(x+d)^2+C/(x+d)　の形になります。

分母が(x+1)^2(x+3)の場合は、
(ax+b)/(x+1)^2+c/(x+3)に分解できますが、
さらに、A/(x+1)^2+B/(x+1)+C/(x+3)に分解できます。

一般的には、分母がF(x)^3*G(x)^2*H(x)の場合を部分分数分解すると、
F(x)^3、F(x)^2、F(x)、G(x)^2、G(x)、H(x)を分母とする６つの分数に分解できます。

お礼

ありがとうございます．
分母は１つずつ次数を下げていけばいいのですね．
これからもよろしくお願いします．