証明

質問

以下の証明を考えています。

|x+sin(x+π)|<=x^3/3!

この問題は

|x-sinx|<=x^3/3!

としたらsinxを無限級数に展開して解けるのですが、あまりエレガントではないので自信が無いです。なにか他の定理を使ってエレガントに解く方法はあるのでしょうか？

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

ほぼテイラーの定理そのものですね。
証明はテイラーの定理（あるいは平均値の定理）でよいと思います。

回答No.4

oyaoya65

#1です。

勿論、x≧0で成り立つ関係ですね。
sin(x+π)=-sin(x)
で、証明する命題は
|x+sin(x+π)| = |x-sin(x)|
ですので
|x-sin(x)|≦(x^3)/6 (x≧0)
(3!=6)
ですね。
y=x-sin(x)とおくと
y'=1-cos(x)≧0より
yは単調増加関数　で
かつ　y(x=0)=0　ですので
x-sin(x)≧0
したがって絶対値がはずれ

x-sin(x)≦(x^3)/6 (x≧0)

つまり,移項して

sin(x)-{x-(x^3)/6}≧0 (x≧0) ... ◆

と命題は書き換えができます。

一方、sin(x)をマクローリン展開すると

sin(x)={ x - (x^3)/6 } +{(x^5)/5!-(x^7)/7!}+...
={ x - (x^3)/6 } +Σ[n=1,∞] A_(4n+1)

ここで、
A_(4n+1)=x^(4n+1)/(4n+1)! -x^(4n+3)/(4n+3)!
(n=1,2,3,...,∞)　...■

(x^3)/6-{x -sin(x)} = Σ[n=1,∞] A_(4n+1) (x≧0)...●

となりますので
◆の命題を証明するには●の右辺が

x≧0で　Σ[n=1,∞] A_(4n+1) ≧0，
ここで、A_(4n+1)は■の式のもの。

となることを示せばいいことになりますね。

後はどうぞおやりください。

お礼

返事が遅くなりましたが、みなさん丁寧な解答をありがとうございました。まｔよろしくお願いします。

回答No.2

endlessriver

１．|x-sinx|<=|x|^3/3!と思います。
２．sinxを無限級数に展開して議論することには困難があるのでは？
３．sinxを３次のマクローリン展開すれば簡単に命題が得られます。

回答No.1

oyaoya65

sin(x+π)=-sin x ですので証明の命題は

|x - sin x|<=x^3/3!

と置き換えることが出来ます。

＞この問題は
＞|x-sinx|<=x^3/3!
＞としたらsinxを無限級数に展開して解けるのですが

既に解けるとのことですので解決しませんか。