恒等式であることの確認について

質問

x^3-x^2+x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+cがxについての恒等式のとき、定数a, b, cの値を求めよ。
という問題なのですが、これにx=0, 1, 2を代入してa, b, cの連立方程式を立て、
それを解いてa, b, cの値を求める、という方法を用いる場合、
何故最後に恒等式であることの確認が必要なのでしょうか？
参考書だと、まず与式の右辺に求めたa, b, cの値を代入してから整理し、それが与式の右辺と等しいから、この与式は恒等式である、とわざわざ確認しています。

問題文であらかじめ「恒等式のとき」と条件を与えているのに、どうしていちいち確認するのでしょうか？
また、この確認がなかった場合は減点されてしまうのでしょうか？

どなたか教えてください！

回答No.3

jamf0421 · ベストアンサー

今の例なら代入する前に式を整理すれば
x^3 - x^2 + x -1 =x^3 + (a-3)x^2 +(-2a+b+3)x +a-b+c-1 (1)
になりますからx^3の項は消しあって、
-x^2 + x -1 =(a-3)x^2 + (-2a+b+3)x +a-b+c-1 (2)
が恒等であること条件を決めればよいことになります。それは
-1 = a-3
1=-2a+b+3
-1=a-b+c-1
からa=b=2, c=0で、これならば恒等であるということの条件を求めたことになります。更にいえば(2)を移項して整理すれば
Ax^2 + Bx + C=0
です。これは重複を許して複素数の範囲内で２つの根をもちます。（代数学基本定理）これが３つの別々の数字になりたつならA, B, Cすべてがゼロで恒等式と分かります。

さて、一般に３次の式で恒等式なることを示せと言う場合、移項して整理すれば、
Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 (4)
の形を得るはずです。（Aはゼロでない）この３次方程式が重複を許して複素数の範囲内で合計3つの根を持ちます。適当に選んだ0, 1, 2の三つの数字をいれてa, b, cを決めただけでは、上の(4)がその3つの根を持つようにしたところまでやったのと等価で恒等なることを証明してはいないはずです。
しかし今の例では整理を先にやってしまえば３つの値でなりたてばO.K.は分かるのですが...

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます！
なるほど～　方程式になってしまう場合もありうるということですね。
理解できました！
ありがとうございました～

回答No.6

noname#47975

＞x^3-x^2+x-1=(x-1)^3+a(x-1)^2+b(x-1)+cがxについての恒等式のとき、定数a, b, cの値を求めよ。

というのは、任意のxに対して等号関係が成立しなければなりません。
x = 0,1,2を代入してa,b,cの値を求めて得られた過程は、
恒等式が成立するための必要条件から得られた解に過ぎず、
十分性については全く保証はされません。
確かに、解が存在するとすればそれ以外には考えられないのですが、
厳密にはその解は題意を満たすかどうかを確認しなければ
ならないと思います。

また、数学では「解は存在しない」という場合も問題として成立します
わけですから．．。

お礼

ご回答ありがとうございます！
十分性か～。。
数学の問題で出た答えが、必ずしも題意を満たすとは限らないということですね！
なんかそう考えると、全ての数学の問題の答えが疑わしくなってきました。笑
ご丁寧な回答ありがとうございました！

回答No.5

kkkk2222

＞＞参考書だと・・・整理し・・・確認・・・
本当でしょうか。
本問題では確認作業は不要に思われます。
他の問題でも確認が必要な問題は記憶にありませんが。
そもそも展開したくないから数値代入法を使うのであって、結果を展開するのなら始めから係数比較で・・・と思ってしまいます。実際には（数値）で計算したほうが若干速いのは事実ですが。手元のＴＥＸＴには、かような記述は見当たりませんでした。

＞＞・・・どのような場合が恒等式じゃない・・・
見当もつきません。この種の問題で結果が恒等式にならぬ場合は経験がありません。
因みにこの問題が再登場するのは数学IIIの積分で部分分数分解が必要となる時ぐらいです。

＞＞この確認がなかった場合は減点・・・
質問が（数学）から離れていますので、（回答）も離れます。
＜減点＞は在り得ないはずです。
（裏読み）ですが、この問題自身が（出題される）となると其れなりの学校であり、そうなると採点者自身に数学の知識に不備が生じるとなるると＜減点自身＞を思いつかぬと。
また此の問題の出題は＜記述式＞は考えられず＜穴埋め式＞のはずです。
逆に、上記のような（部分問題）だと些事となります。

＞＞「恒等式のとき」と条件・・・確認・・・
こらは流石に貴殿の錯誤です。
貴殿の質問内容とは別問題です。
＜恒等式の条件＞がなければ、問題が成立しません。
　Ａ（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１＝（Ｘ＾２）＋Ｘ＋１
恒等式ならば、Ａ＝１
方程式ならば、Ａ＝１のとき解は任意、Ａ≠１のとき解はＸ＝０。

お礼

ご回答ありがとうございます！
確認不要なんですか？
今手元にある参考書２つ（青チャートII・Bと理解しやすい数学II・B）では、
どちらも確認が必要と書いてあるんですよねぇ。。

回答No.4

yuu111

こんばんは

へえ。始めて聞いた＾＾；
まあでも確かに、成り立たないのもありそうではありますね。

高校生（大学受験生）であれば、検定教科書に、確認なしでその解法が書いてあるかですね。

お礼

こんばんは！
探せばありそうですよね～
教科書を見てみたいのですが、今諸事情で教科書持ってないんですよねぇ＾＾；

回答No.2

gyrocompas

ケースによっては、恒等式でない場合もあるからでは、ないでしょうか

あるいは、
出題者は以下の定理も確認したいのかなと考えていますが、

次の定理があります
Ｐ（ｘ）、Ｑ（ｘ）ｎ次の多項式の時
Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）が
ｎ＋４個の異なるｘの値に対して成立するとき
Ｐ（ｘ）＝Ｑ（ｘ）は恒等式である

質問の式は、３次の多項式で、ｘ＝０，１、２
で既に成立しているので、これ以外のｘの値に対して
成立すれば、恒等式ということになります。

お礼

回答ありがとうございます！
具体的にどのような場合が恒等式じゃないんでしょうか？？

回答No.1

rinkun

x=0,1,2を代入して解いているからです。
求めた結果が他のxでも成り立つことを確認しないと恒等式になりません。

お礼

回答ありがとうございます！
ということは、ｘに数値を代入してa, b, cの値を求めて、
それを与式に代入して完成した等式は、恒等式でない場合もあるということでしょうか？？