連立方程式が苦手です。ご助力下さい。（高3）

質問

初めまして。高3で連立方程式が理解出来ていないことが致命的だということに気が付きました。よろしければ以下の二点の問題の躓いている部分を解答までアプローチして下さい。

1）ax^2 - 5x + b = 3x^2 + cx - 2　がｘについての恒等式となるように、定数a b cを定めよ。

b = -2
a - 5 + b = 3 + c -2
a + 5 + b = 3 - c - 2

2）
μN＝T2cos30°…(1)　
N+T2sin30°＝mg　…(2)

どちらも連立方程式を使う事は分かって連立方程式を使うまでは分かるんですが、計算方法が分かりません。

（1）は解釈の仕方が不安です。「b=-2が分かっているから下二つの式のｂに-2を代入する…」までは何となく分かります。そうすると二番目の式は「a - 7 = 3 + c -2」、三番目は「a + 3 = 3 - c - 2」となります。ここまでは良いんですが、この先　どう計算すれば良いかが分かりません。

（2）は物理の問題です。教材には「(1).(2)は連立方程式となっていて、今の場合は張力T2を出したいからNを消去していって、しばらく計算をやれば…　『T2＝2μ/√3+μ　ｍｇ』となる」と書かれているんですが、（1）同様どうやって連立方程式を解けば良いかが分かりません。

頭のなかに入っている連立方程式の計算方法は式を上下に並べて引いたり足したりしていく…という具合なんですが、そこが分かりません。解いていく順序を1つずつ分かりやすく教えて下さい。

よろしくお願いします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

1）
>ax^2-5x+b=3x^2+cx-2　がｘについての恒等式となる
恒等式の条件は何でしょうか？
[1]各次の対応する係数が全て等しい。（必要十分条件です）

これを式で表せば
　2次の係数：a=3
　1次の係数：-5=c
　0次の係数(定数項)：b=-2
わざわざ連立方程式を解かなくても解けた形になっています。

[2]恒等式の性質
恒等式なのでxに任意のxを代入しても方程式が成立する。(必要条件です)

未知数a,b,cの個数3だけの異なるxを選んで代入して方程式を立てる。
この方法は必要条件なので、求めたa,b,cを元の方程式に代入して十分条件であることを確認する必要があるでしょうね。

x=0を代入：b=-2　...(1)
x=1を代入：a-5+b=3+c-2 ...(2)
x=-1を代入：a+5+b=3-c-2 ...(3)
(1)を(2),(3)に代入して式を整理
a-7=c+1 ...(4)
a+3=1-c ...(5)
(4)+(5)でcを消去
2a-4=2　∴a=3 ...(6)
(6)を(4)に代入
-4=c+1 ∴c=-5

[1]のa,b,cと一致しました。
[2]の場合十分条件であることを確認しておく必要があります。
つまり、元の恒等式にa,b,cを代入して左辺＝右辺となることを確認しておく必要があります。

[1]と[2]を比較すると[1]の解法が簡単でしょう。恒等式であるための必要十分条件をしっかり覚えておいた方がいいですね！

2)
μN＝T2cos30°…(1)　
N+T2sin30°＝mg　…(2)

(1)、(2)にcos30°=√3/2,sin30°=1/2 を代入
μN＝T2√3/2…(1)'
N+T2/2＝mg　…(2)'
(2)'より
N=mg-T2/2 ...(3)
(3)を(1)'に代入してNを消去
μ(mg-T2/2)＝T2√3/2
μmg＝T2√3/2+μT2/2
2倍して左辺と右辺を入れかえて
T2√3+μT2＝2μmg
T2(√3+μ)=2μmg

∴T2＝{2μ/(√3+μ)}mg
と得られます。

お分かりになりましたか？

お礼

御回答有り難うございます。季節外れの高熱によりお礼の程が遅れました。大変失礼しました。
（1）は問題の前述に「数値代入法を用いること」と記述されていたんですが、質問に載せることを忘れていました。失礼しました。連立方程式、今まで複雑に考えすぎていたせいか理解した時に自分が悩んでいた事が馬鹿らしく、恥ずかしく思えました。
お陰様で物理の問題も解答を順に追いながら解いて行くにつれて理解が深まり、本問題や類似問題含め、自力で解けるまでに成長しました。

回答No.6

htms42

（１）連立方程式など使わなくてもいい。右辺と左辺が同じ式になればいいのだからｘ^2の項、ｘの項、定数項でそれぞれ係数が等しいはずだというだけで出る。
というのは確かです。それができてないのですが、・・・

でもｘ＝０、ｘ＝１，ｘ＝－１を入れて解くことが誤りであるということではありません。

ｂ＝－２
ａ－５＋ｂ＝３＋ｃ－２
ａ＋５＋ｂ＝３－ｃ－２

式が出てきているのに解くことができないというところが問題なのです。
これが解けないというのであれば連立方程式の問題は全部アウトです。
（２）の問題が解けるはずがありません。

＞二番目の式は「a - 7 = 3 + c -2」、
＞三番目は「a + 3 = 3 - c - 2」となります。
＞ここまでは良いんですが、この先　どう計算すれば良いかが分かりません。

これは　ｂ＝－２　をただ代入しただけの式ですね。そこから一歩も先に進めないのでしょうか。
（＞ｂに-2を代入する…」までは何となく分かります・・・なぜ「何となく」なんでしょうか。）

＞頭のなかに入っている連立方程式の計算方法は式を上下に並べて引いたり足したりしていく…という具合なんですが、

ａ－７＝３＋ｃ－２
ａ＋３＝３－ｃ－２

２つの式を並べました。
足してみましょう。
２ａ－４＝６－４
引いてみましょう。
－１０＝２ｃ
ａ＝３，ｃ＝－５が出てきます。

これができなかったということですね。
移項して整理するということができないのではありませんか。
もしできるのであれば
(ａ－３)ｘ^2　－(ｃ＋５)ｘ　＋(ｂ＋２)＝０
という式が得られたかもしれませんね。

（２）文字が４つ出てきています。これをＮ，Ｔ２つの量についての連立方程式だとみるところに最初のハードルがあります。（１）で出てきた式を解くことができないのであればこれ以上無理です。１とか－１という係数しか出てきていない式が解けないのですからμやsin,cosが係数に入っている問題が解けるはずがありません。

お礼

御回答有り難うございます。問1はお陰様で解くことが出来ました。問2に関しても他の回答者様のご回答で理解するに至りました。

回答No.5

do-deshow

1）ax^2 - 5x + b = 3x^2 + cx - 2　がｘについての恒等式となるように、定数a b cを定めよ。
{恒等式}　とは何か？皆さんの返事からわかりましたね。
この式ではｘがいかなる値に変化していっても与式は成立する。と言う事です。
ｘは変数です。
a,b,c,が求めるべき未知数です。
解き方は皆さんのおっしゃっているとおりです。
　例解はかなり丁寧にかいてあります。
これを説明しますと.............

ｘが正の値の時、ｘ^2は正の値、ｘも正の値ですから両辺をそのまま比較して
a - 5 + b = 3 + c -2............(1)

ｘが負の値なら、x^2は正になるからax^はaと3をそのまま比較できますが
-5xと+ｃｘは-を掛けて+5xと-ｃを比較しないと不公平です。
a + 5 + b = 3 - c - 2..........(2)

x=0の時与式は
b=-2.............(3).....ｂ=-2とわかっちゃたのでこれを使って

(1)(2)からa.c.を求めていきます。

2）
μN＝T2cos30°…(1)　
N+T2sin30°＝mg　…(2)

cos30°とsin30°を見やすい数値で表しておきましょう。
cos30°は2/√3ですね。ではsin30°は？

T（張力）=なんちゃらかんちゃらｍｇとしたい訳です
この形にもっていきやすい母体は（2）です。（見た目で）

　（1）をN=の式にして（2）のＮに代入
でNは置き換わります。

計算方法は.......

真面目に+-×÷を使えばいいのよ。

お礼

御回答有り難うございます。四則演算、復習して参ります。

回答No.2

airi_kashii

連立方程式が苦手というよりは、何故そうなるのかという理屈の理解を今までずっと
放棄していて、丸暗記でしのいできた結果であり、それは理系としては致命的なので、
暗記が重視される文系に転換する方が無難だと強く思います。

問一だけ、恒等式って何？　それを考えましょう。そういう理屈をすっ飛ばしてるからダメ。

回答No.1

alice_44

1)
移行して整理しちゃえば、解くという程の式じゃない。
恒等的に 0 な多項式は各次の係数が全て 0 のものだけ
であることを利用する。

2)
(2) を N=… の形に変形して、(1) の N へ代入する
のが、たぶん一番簡単。いわゆる「代入法」というやつ。