連立方程式はなぜ逆の確認をしなくていいのか

質問

『mを0でない実数とする。2つのxの2次方程式x^2-(m+1)x-m^2＝0とx^2-2mx-m＝0がただ1つの共通解をもつとき、mの値とそのときの共通解を求めよ。』

という問題で、共通解をαとおいてそれぞれの方程式に代入し、それらをαとmについての連立方程式とみて解き、その結果得られるα、mの値が条件を満たしているとは限らないから確認する…この「その結果得られるα、mの値が条件を満たしているとは限らないから確認する」というのがよくわかりません。

a＝bかつc＝d⇒a+c＝b+dは成り立つけれどこの逆は成り立ちませんよね？だからなのかな？と思ったり、2つの方程式f(x)＝0、g(x)＝0の辺々を引いて求まるαは2つの放物線y＝f(x)、y＝g(x)の共有点でしかないからそれぞれの放物線とx軸との共有点とは限らないからかな？等一応自分でも考えたのですが、考えているうちに、ではなぜいつも連立方程式を解くときに逆の確認をしなくてもいいのだろう？と疑問を抱きました。
今回の問題の補足に、「共通解が存在すると仮定して計算しているが、一般に2つの方程式を足したり引いたりしてできる方程式の解は、もとの方程式の解であるとは限らない。」のように書いてあったのもあって疑問に思いました。

回答No.2

Tacosan

連立 1次方程式に限って言えば, 掃き出し法にしても消去法にしても同値な変形しかしてません. だから, あえて逆を確かめる必要もありません.

回答No.1

alice_44

一般に、連立方程式を式変形して解らしきものを得ても、
それは未だ解とは言えず、解の候補でしかありません。
ナゼかと言うと、
＞　共通解が存在すると仮定して計算しているが、
＞　一般に2つの方程式を足したり引いたりしてできる
＞　方程式の解は、もとの方程式の解であるとは限らない。
からです。これを
＞　a＝bかつc＝d⇒a+c＝b+dは成り立つけれど
＞　この逆は成り立ちませんよね？
と言っても同じこと。候補を絞ったら、
それが本当に解であるかを確認する作業が不可欠です。
常にです。

＞　ではなぜいつも連立方程式を解くときに
＞　逆の確認をしなくてもいいのだろう？
の箇所にある「連立方程式」とは、連立一次方程式
のことですよね？　連立一次方程式の場合、
解の存在・不存在の分類がよく知られていて、
掃き出し法や消去法などの普通の解法で処理する際、
解が無かったり、複数在ったりすると何が起こるかが
よく解っているからです。
それを検出しながら式変形を進めている…というタテマエ
なので、解を得た時点で、それが一意解であることは判っている
ことにしてあるのです。それでいいのかは、微妙ですが。
本当は、最後に十分性をきちんと確認するか、
上記のカラクリに一言触れるかしなければならないのだけれど、
「こんくらい解ってるよね？」という態度で済ませている訳です。