質問

質問

ある問題集に

2次方程式x^2-(8-a)x+12-ab=0が定数aの値にかかわらず実数解をもつときの定数bの値の範囲を求めよ。

という問題がありました。
まず判別式で計算しました。
そうしたら(2b-8)^2-16≧0・・・(1)
となりました。
しかしここからがわかりません。
解説を見て見ると、「(1)がすべての実数aの値に対して成り立つ条件はb^2-8b+12≦0」となっていました。
(1)を更に判別式に代入することは分かるんですが、なぜ0以下にしなければならないのでしょうか？？

回答No.5

kkkk2222

x^2-(8-a)x+12-ab=0
　　(8-a)^2 -4(12-ab)≧0
　　a^2-(16-４b)a+16≧0
　　a^2-2(8-2b)a+16≧0・・・(1')　　
これが全てのaについて成り立つ
即 これが絶対不等式になる

”絶対不等式”とは
A^2≧0、
(A-5)^2+1≧0
A^2-10A+100≧0
(A-1)^2+(B-1)^2+(C-1)^2≧0
A^2+B^2≧2AB・・・

(1')が・・・なる条件は
平方完成利用、グラフ利用　即
　　［a^2-2(8-2b)a+16=0の判別式］≦0
(2b-8)^2-16≦0・・・＊　
　　b^2-8b+12≦0・・・(2)となります

もう貴方地震　気が付いているとおもいますが
二つの判別式が原因で、質問文に誤植が生じてますね

回答No.4

y_akkie

#3です。別解の方に誤りがありましたので、以下のように訂正します。

y = ax-ab　　⇒ y = -ax + ab
y=a(x+b) ⇒ y=-a(x-b)
(-b,0) ⇒ (b,0)

以上の３点の該当箇所を読み替えて下さい。
読みづらくなって申し訳ありません。

回答No.3

y_akkie

まず、2次方程式x^2-(8-a)x+12-ab=0の判別式は

D=(8-a)^2-4(12-ab)
=(64-16a+a^2)-(48-4ab)
=a^2-16a+4ab+16
=a^2+4(b-4)a+16

になります。
そして、D≧0のときに実数解を持つので、
a^2+4(b-4)a+16≧0を満たします。
ここで、左辺の式を平方完成すれば、
(a+2(b-4))^2 + 16-4(b-4)^2 ≧0となり、
a=-2(b-4)のとき、最小値16-4(b-4)^2をとる事から
この値が０以上であれば、任意のaに対して不等式が
成立する事から、16-4(b-4)^2≧0の不等式を解くと、

4(b-4)^2≦16
(b-4)^2≦4
-2≦(b-4)≦2
2≦b≦6(*)

2≦b≦6となり、bはこの範囲を満たしていれば題意が成立する事
が分かります。

また、以下のような別解もありますので、そちらの方も参考にして下さい。
2次方程式x^2-(8-a)x+12-ab=0の式を変形すると、
x^2-8x+12 = ax-abとなります。
ここで、

y = x^2-8x+12　－－－(1)
y = ax-ab　　　－－－(2)

(1)(2)の二つのグラフの交点が２次方程式の実数解となります。
まず、(1)について左辺を因数分解すると、(x-2)(x-6)となり、
すなわち、x軸との交点が(2,0),(6,0)になる事が分かります。
ここで、(2,0),(6,0)をそれぞれP,Qとおきます。
また(2)について、y=a(x+b)になる事から、(-b,0)を通る事
が分かります。ここで、(-b,0)をRとおきます。
y=a(x+b)の式に着目すると、aは傾きを表していることが分かり、
aは任意の値を取るので、したがってRを通る全ての直線の式を
表した関数である事が分かります。
以上により、Rを通る全ての直線が(1)との交点を持つような
bの範囲を定めればよい事が分かります。
ここから、図示して確かめていただければ、何とか理解できるかもしれませんが少々複雑になります。
また、Rはx軸上に存在する事に注意して下さい。
2≦b≦6の範囲にあるとき、線分PQ上にRが存在する事となり、
Rを通る直線はどのような傾きを持ったとしても必ず(1)と交わる
事が分かります。
次に、2>bのとき、Rは線分PQの外部に存在する事になります。
ここで、Pにおける(1)の接線Lを基準に考えてみると、Lを平行移動した
ものがRを通る直線となり、この場合、平行なので接線Lと常に交わる事なく、Lよりも常に下側を通過しているので、(1)とは当然交わらない事が分かります。
よって、この範囲ではRを通る直線のうちこのような直線が存在するので、Rを通るどのような直線も(1)と交わるという条件に反するので不適となります。
次に、6<bのときも同様に考えれば、Rを通る全て直線のうち、Qにおける接線に対して平行で、常に下側を通る直線で(2)とは決して交わらない直線が存在するので、不適となります。これらにより、bの範囲は2≦b≦6の範囲のみになります。

といった形になりましたが、別解の方は図形的な解法といった形で、計算そのものは簡単ですが、直感性が必要となり、また論証も少しばかり複雑な感じかもしれません。よって、このような解法もある事だけに理解をとどめ、やはり、実際に解くには前者のような一般的な解法で解くのが一番だと思います。

回答No.2

tatsumi01

判別式の計算 (1) は合ってますか？問題の２次方程式が実根を持つ条件は
(8-a)^2 -4(12-ab)≧0
∴a^2-(16-b)a+16≧0・・・(1')
となると思うのですが。
そして、(1') の左辺が常に正（または０）ということは、左辺の２次方程式を解いたときに実根がない（Ｘ軸と交わらないか、１点で接する）ということですね。
したがって、「左辺の２次方程式の判別式≦０」に帰着すると思います。

計算には自信がないので、yoshi456 さん、キチンと計算して下さい。

回答No.1

koko_u_

(1)式に a が見当たりませんが。