極限値を求める問題です
よろしくお願いします。
以下の問題を解いていたのですが、いまいち自信がありません。
また、(3)の問題の解き方がどうしてもわかりません。
わかる方、ご指導のほど、よろしくお願いします。
【問題】
()内の関数の定積分と関連されることにより、次の極限値を求めよ、
(1) lim[n→∞] {(1/(n+1) + 1/(n+2) + … + 1/(n+n)}
これを適用する→(1/1+x)
自分の答え
=lim[n→∞] (1/n){(1/(1+1/n) + 1/(1+2/n) + … + 1/(1+n/n)}
f(x)=1/(1+x), 1/n=hとおくと、
lim [n→0] h(f(h)+f(2h)+…+f(nh))
∫[0→1] 1/(1+x) dx = [log(x+1)](0→1)
=log(2)-log(1)=log(2/1)=log(2)
(2) lim[n→∞] {(n/n^2 + n/(n^2+1^2)+…+n/(n^2+(n-1)^2)}
これを適用する→(1/(1+x^2))
自分の答え
各項を、n/(n^2+k^2)=1/(1+(k/n)^2)*1/n (k=0,1,…,(n-1))と表す。
次に、n→∞の極限に移行して、
lim [n→∞] Σ 1/(1+(k/n)^2)*1/n
=∫[0→1] 1/(1+x^2) dx = [arctan(x)](0→1)
=[arctan(1)]-[arctan(0)]=π/4-0=π/4
(3) lim[n→∞] 1/(n^(a+1)) Σ[k=1→n] k^a
これを適用する→(x^a (a>0))
自分の答え
???
以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。
お礼
すみません、丸投げしたつもりではなかったのですが糸口が見えなかったので質問しました。 その方法がありましたね、ありがとうございます。