幾何的ブラウン運動の遷移)確率密度関数の求め方

質問

幾何的ブラウン運動
dX_t=u X_t dt + σX_t dW_t
X_0=x
の遷移確率密度関数が以下のようになる途中計算をできるだけ省略無く丁寧に教えてきださい。
p(t,x,y)= 1/(√2πσ^2　t)　exp(-(log(Y/x)-ut)^2/(2σ^2 t))

宜しくお願いします

回答No.1

noname#148095 · ベストアンサー

確率微分方程式を解くと
X_t=x exp((u-σ^2/2)t+σW_t)
logX_t=logx +(u-σ^2/2)t+σW_t。
右辺がN(logx +(u-σ^2/2)t, σ^2t)に従うので対数正規分布の密度に当てはめて
P{X_t∈dy}
=(1/(y√(2πσ^2　t)))exp[-(log(y/x)-(u-σ^2/2)t)^2/(2σ^2t))]dy
かと思うのですが
質問の式と違うようですね…

お礼

期待していた通りの回答でした！ありがとうございました。