対数正規分布

質問

確率変数が対数正規分布に従うとき期待値はどのように求めればよいのでしょうか？？モーメント母関数をつかうのでしょうか？？

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

Xが対数正規分布に従うとして、その確率密度関数を、
f(x)=1/√(2π)σ・(1/x)exp{-(logx-μ)^2/σ^2}
とすると、Y=logX、すなわちX=exp(Y)なるYは、確率密度関数、
f(y)=1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2}
を持つ正規分布に従います。
よって、
E(X^k)
=E(exp(kY))
=∫(-∞,∞)exp(ky)・1/√(2π)σ・exp{-(y-μ)^2/σ^2}dy
を計算すればよいのですが、expの中身をyで平方完成すれば計算
できます。
k=1とすれば平均E(X)が求まり、k=2とすれば2次モーメントE(X^2)
が求まって、分散V(X)=E(X^2)-E(X)^2が計算できます。

補足

ありがとうございました！！！計算がなかなか大変です。一つお尋ねしたいのですが
Xが対数正規分布に従うとき、Y=logXが正規分布に従うということはどのように証明できるでしょうか？？

回答No.2

zk43

先にも書きましたが、これは対数正規分布の定義で、対数をとると正規
分布に従うような分布を対数正規分布というのです。
あるいは対数正規分布の確率密度関数を先に与えておいて、Y=logXと
変換してYの確率密度関数が正規分布のものになることが計算で証明
できます。
対数正規分布のlog→正規分布
正規分布のexp→対数正規分布（上の式の逆操作）
計算は一見複雑に見えますが、平方完成するところだけが要点なので、
計算自体は中学生レベルです。
一般的に、変数変換した場合の確率密度関数の求め方が分からない場合
は、意味が分からないと思うので、この辺の基礎は教科書でご確認をと
いうことでご容赦を・・・

お礼

わかりました。何度もありがとうございました！！また機会がありましたらよろしくお願いします。