ブラウン運動、標準正規分布

質問

以下、2つ（(1)(2)）分からないところを教えていただければ幸いです。

時刻tにおける株価S(t)が平均r、ボラティリティσの幾何ブラウン運動
dS(t)/S(t)=(rdt+σdW(t))・・・１
に従うものと仮定する。
ここで、幾何ブラウン運動に関する標準的結果を用いて、
E[S(t)/S(0)]=exp(rt)・・・２
となることが分かる。
(1)↑これは、１式から2式はどうやって出てきているのでしょうか？「標準的結果を用いて」としか記載がなくて分からないのですが。

S(t)は対数正規分布に従い、
E[lnS(t)]=lnS(0)+rt-σ^2t/2
V[lnS(t)]=σ^2t
となるので、Φ(・）を標準正規分布の分布関数とすると、
Pr{S(t)≦S(0)}・・・３
=Pr{lnS(t)≦lnS(0)}
=Φ((0.5σ-r/σ)√t)
=0.507 （r=0.1、σ=0.45、t=15の場合を想定）
(2)↑３式からこの答えまでの計算がよくわかりません。
特に3行目以降が・・。

もし、分かる方いらっしゃればよろしくおねがいします。

回答No.1

thetas

２つ目についてだけ。。

Yが正規分布N(μ，σ^2)に従う場合、
Pr{Y≦ｘ}＝Φ((ｘ-μ)/σ）となります。

Yが対数正規分布Λ(μ，σ^2)に従う場合、
lnYが正規分布N(μ，σ^2)に従っているということですから、
Pr{Y≦lnｘ}＝Φ((lnｘ-μ)/σ）となります。

ということで
lnS(t)は正規分布N(lnS(0)+rt-σ^2t/2，σ^2t)に従っていますから、
Pr{lnS(t)≦lnS(0)}
＝Φ((lnS(0)- lnS(0)-rt+σ^2t/2)/σ√t）
ここで、次の式を簡単にしますと、
(lnS(0)- lnS(0)-rt+σ^2t/2)/σ√t
＝(-rt+σ^2t/2)/σ√t
＝(-rt+0.5σ^2t)/σ√t
＝t(0.5σ^2-r) /σ√t
＝{(0.5σ^2-r) /σ}√t
＝(0.5σ-r/σ) √t
となって、２行目から３行目に変形ができました。

お礼

計算できました！
どうもありがとうございます。

ところで、S(t)は対数正規分布に従い、
E[lnS(t)]=lnS(0)+rt-σ^2t/2
V[lnS(t)]=σ^2t
っていうのは、どうやって導かれるのでしょうか？