幾何ブラウン運動について

質問

幾何ブラウン運動が微分の形で、
dX(t) = μX(t)dt + σX(t)dB(t)
のように表される。この式は以下の式を表している
X(t) = X(0) + μ∫_0^t X(s)ds + σ∫_0^t X(s)dB(s)

ここで、μ(t,ω)= μX(t,ω),σ(t,ω)=σX(t,ω)として伊藤の公式を
f(x) = logxに適用する。

df/dx = 1/x , d^2f/dx^2 = - 1/x^2

であるから、次のようになる。

logX(t) = logX(0) + ∫_0^t(μX(s)/X(s) + (1/2) ( -σ^2X(s)^2 / X(s)^2 ))ds + ∫_0^t (1/X(s))σX(s) dB(s)　…(※)

= μt - (1/2)σ^2t +　σB(t)

この(※)の式がどのような手順（計算）で導出されているかわかりません。logをとっていることはわかるのですが、第二項と第三項がどのようにして出てくるのかが理解できず困っています。

正確な解答だけではなく、助言や参考にできること等なんでも助かります。
わかりにくい式だとは思いますが、よろしくお願いします

回答No.1

ur2c · ベストアンサー

幾何ブラウン運動
http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_Brownian_motion
の式を伊藤の補題
http://en.wikipedia.org/wiki/It%C5%8D%27s_lemma
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BC%8A%E8%97%A4%E3%81%AE%E8%A3%9C%E9%A1%8C
で計算してるだけですので、確率微分方程式の教科書で、伊藤の補題がどうして成立つのかを調べれば良いのではないでしょうか？

お礼

そうでした。実際の計算はなんら難しい点はありませんでした
私の基礎力不足が原因でした。

参考URLの数式を追っていくと理解できました。

回答ありがとうございました<(_ _)>