対数正規性のある株価の期待値と分散

質問

対数正規の性質と演算公式の理解に関する質問です。

S_0を現時点の株価、S_Tを将来T時点の株価、μを株価期待収益率、σを株価ボラティリティとして、
lnS_T～φ[lnS_0+(μ-(σ^2)/2)T,　σ√T]

が得られるとき、次の点をご教示ください。
(1)上式と対数正規分布の性質より、S_Tの期待値E(S_T)は、E(S_T ) ＝(S_0) e^（μT）となる理由

(2)S_Tの分散var（S_T)は、var(S_T )=((S_0)^2) e^(2μT ) （e^(σ^2 T )-1）となる理由

回答No.1

noname#227064

確率変数Xが平均μ分散σ^2の対数正規分布に従うとき、Xの平均及び分散はそれぞれ
E(X) = exp(μ+σ^2/2)
V(X) = exp(2μ+σ^2){exp(σ^2)-1}
となるので、
μ→lnS_0+(μ-(σ^2)/2)T
σ→σ√T
と置き換えれば(1), (2)が得られます。
それとも、Xの平均及び分散が何故上のようになるかを知りたいのでしょうか？