ランダウの記号oとO

質問

スモールオーoとラージオーOにおいてo(x^n)とO(x^n+1)が対等のような書き方の本がいくつかありますが、nとn+1の違いをつけると何故これらが対等になるのかがわかりません。どなたかご存知の方はお教えください。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmund です．

> 7行目のnとn+1はケアレスミスですね。
しまった，おっしゃるとおりです．
「O(x^(n+1)) と o(x^n) とは同じ意味になります」
と訂正してください．
気がついてくださってよかった．

ランダウの記号の本来の意味は，お礼で書かれているとおりです．
私が前に出した，
「x→+∞ のとき，log x = o(x)」
という例ですと，(log x)/x → 0 (as x→+∞) になっています．

お礼

有り難うございました。勉強になりました。

回答No.1

siegmund

ご質問の内容はべき展開の話のようです．
この場合，ランダウの記号は
o(x^n) は，x^n より高次の項，
O(x^n) は高々 x^n の次数の項，
という意味です．
x^n の次の項は x^(n+1) ですから，
o(x^(n+1)) と O(x^n) とは同じ意味になります．

なお，べき展開でないときには同じ意味とは限りません．
x→+∞ のとき，log x = o(x) ですが，
log x = O(x^0) = O(1) ではありません．

所詮，物理屋の数学ですから，細かいところは穴があるかもしれません．
(そもそも，細かいところ，というセンスがいけないのかも)．

お礼

siegmund先生、ご回答有難うございました。良くわかりました。7行目のnとn+1はケアレスミスですね。数学記号の本には、f(x)/g(x)→0ならばf(x)=o(g(x))つまり、「f(x)の方がg(x)よりも速く0に近づくということだそうです。他方、f(x)=O(g(x))とは、x=0の近くである数Kに対して|f(x)/g(x)|<Kとなるときだそうで、f(x)の方がg(x)よりも0に近づくのが速いかそれとも同程度であることを示すそうです。それで、

e^x=1+x+(1/2!)x^2+o(x^2)
e^x=1+x+(1/2!)x^2+O(x^3)となるようです。