f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を
次の問題で質問です。
[問]f_n=g_n a.e on R^nとする。g_n→g(測度収束)ならばf_n→g(測度収束)を示せ(f_n,g_n,gはルベーグ可測な関数)。
[証明]
R^nでの殆どいたるところでf_n=g_nだというのだから零集合Zを除いたx∈Eではf_n(x)=g_n(x)という意味だと思います。
f_n,g_n,gをE⊂R^n上のルベーグ可測関数とする。
仮定より,0<∀ε∈R,0=lim[n→∞]μ({x∈E;|g_n(x)-g(x)|≧ε})
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})(但しZは零集合)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義(可算加法性))
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+μ({x∈Z;|g_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵仮定「f_n=g_n a.e.」)
=lim[n→∞](μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε})+0)
(∵零集合の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+μ({x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵零集合の定義)
≧lim[n→∞]μ({x∈E＼Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}∪{x∈Z;|f_n(x)-g(x)|≧ε}))
(∵測度の定義)
=lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε}+)
即ち, 0<∀ε∈R,lim[n→∞]μ({x∈E;|f_n(x)-g(x)|≧ε})=0.
∴ {f_n}はgに測度収束する。
となったのですがこれで正しいでしょうか?
お礼
ありがとうございました！ 理解できました。