2^o(logn)・o(logn)=o(n^1/3

質問

以下ののような式が現在読んでいるものにかかれています。
2^o(logn)・o(logn)=o(n^1/3)
このような式がなぜ成立するのかわかりません。元々右辺は求まっていなくて左辺から右辺を導き出すみたいなのですが、どうしてこのようになるのかわかりません。

ご存知のかたや、おそらくこうではないかと思う方は、ご回答のほどよろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura

lim_{n→∞}{o(logn)}/logn=0
となる
lognの関数をo(logn)と表す
lim_{n→∞}{o(n^{1/3})}/n^{1/3}=0
となる
n^{1/3}の関数をo(n^{1/3})と表す

n^t=2^{o(logn)}
とすると
logn^t=log2^{o(logn)}
tlogn=(log2)o(logn)
t=(log2)o(logn)/logn
↓
2^{o(logn)}=n^{(log2)o(logn)/logn}
2^{o(logn)}=1/n^{-(log2)o(logn)/logn}
↓
2^{o(logn)}/n^{1/3}=1/n^{1/3-(log2)o(logn)/logn}
↓
2^{o(logn)}(logn)/n^{1/3}=(logn)/n^{1/3-(log2)o(logn)/logn}
↓
lim_{n→∞}2^{o(logn)}(logn)/n^{1/3}
=lim_{n→∞}(logn)/n^{1/3-(log2)o(logn)/logn}
=lim_{n→∞}(logn)/n^{1/3}
=lim_{x→∞}x/e^{x/3}
=lim_{x→∞}x/(1+x/3+x^2/18)
=lim_{x→∞}1/(1+1/3+x/18)
=0
↓
lim_{n→∞}2^{o(logn)}*o(logn)/n^{1/3}
lim_{n→∞}[2^{o(logn)}(logn)/n^{1/3}]*{o(logn)/logn}
=0
↓
∴
2^{o(logn)}*o(logn)=o(n^{1/3})