二階微分方程式の質問です。

質問

y"=1/y^3
という微分方程式問題なんですけど両辺に２ｙ’をかけて一回積分して
(y')^2=-1/y^2+A
というところまで出来たんですけどこれからがわかりませんわかる方おしえてもらえないでしょうか。
答えはＡｙ^２＝Ａ^２(ｘ＋Ｂ)^２＋１なるらしいです。解説つきで教えていただけるとたすかります。

回答No.3

inara · ベストアンサー

「両辺に２ｙ’をかけて」というのは結果的に合っていますが、教科書的にやると【補足】のようにします。
以下の式から計算します。

( y ')^2 = -1/y^2 + A　--- [1]
において、f = y^2 とおくと、f ' = 2*y*y' → y' = f'/(2*y)
これを式(1)に代入して　( f ' )^2 / (4*y^2 ) = -1/y^2 + A
→ ( f ' )^2 = 4*( A*f - 1 )
→ f ' = ±2√( A*f - 1 ) ---[2]

ここで、Aの値による場合分けを行う

(1) A=0 のとき、式[2]から
f ' = ±2i　→ f = y^2 = ±2i*x + B

(2) A<>0 のとき
式[2]より f'/√( A*f - 1 ) = ±2
この両辺を x で積分して
2/A*√( A*f - 1 ) = ±2*x + B
→ √( A*f - 1 ) = A*( ±x + B/2 )
→　A*f = A^2*( ±x + B/2 )^2 + 1
f = y^2 だから、A*y^2 = A^2*( ±x + B/2 )^2 + 1 ---[3]

この解は　「Ａｙ^２＝Ａ^２(ｘ＋Ｂ)^２＋１」と一見違っていますが、
( ±x + B/2 )^2 = x^2 ±B*x +B^2/4　ですから、
±B =2*C とおけば、x^2 ±B*x +B^2/4 = x^2 + 2*C*x +C^2 = ( x + C )^2 なので、式[3]は
A*y^2 = A^2*( x + C )^2 + 1
となって同じ形になります。

A=0のときの解が「答え」にないのは、問題が A<>0 と仮定しているのかもしれません。

【補足】
（x を含まない２階微分方程式では p = y' とおく）
y'' = 1/y^3 において y' = dy/dx = p とおくと、y'' = dp/dy*dy/dx = dp/dy*p
したがって与式は dp/dy*p = 1/y^3 という１階の微分方程式になる（pをyの関数と考える）。
両辺を y で積分すれば ( p^2 )/2 = -1/(2*y^2) + C　→　( y' )^2 = C' - 1/y^2

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。

回答No.4

sol-gel

すいません、いろいろとミスってました。
yとxの扱いについて見間違えてました
私の回答は無視していただいてかまいません。inaraさんの回答が正しいようです。

回答No.2

sol-gel

すいません補足です。
積分定数をもう一回すっきりさせるために
y^2=Ay+B　※ＡＢは積分定数
としたほうが良いようです。

回答No.1

sol-gel

2y'を両辺にかけるという時点でナンセンスだと思います。
それと解いていくと
y''=1/y^3
y'=(-1/2)y^(-2)+A ※Aは積分定数
y=(-1/2)(-1)(1/y)+Ay+B ※A,Bは積分定数
となりまとめると
Ay^2=2By+1
が解だと思います。destiny5さんが示した答えにxが入っているのが書き間違えなのか何なのかわかりませんが与式は『Ｙの二回微分はＹ分の1の三乗に等しい』と理解してもいいですよね？

補足

Ｙの二階微分はＹの三乗分の１に等しいという意味なんですけどこれでも同じになりますか？